Demonstre as seguintes identidades trigonométricas
tg x+cotg x=tg x cosec^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
tgx + cotgx = tgx ,cosec^2 x
Para isso vamos usar as definições
tgx = sin xcos x,
cotgx = cos xsin x,
cosecx = 1sin x,
e a identidade pitagórica sin^2 x + cos^2 x = 1.

Passo 2

Começamos transformando o lado esquerdo em frações sobre sin xcos x:
tgx + cotgx = sin xcos x + cos xsin x = sin^2 x + cos^2 xsin x,cos x

Passo 3

Usando sin^2 x + cos^2 x = 1, obtemos
tgx + cotgx = 1sin x,cos x

Passo 4

Agora vamos ao lado direito. Substituindo as definições, temos
tgx ,cosec^2 x = sin xcos x,1sin^2 x = 1sin x,cos x

Passo 5

Como os dois lados ficaram iguais a 1sin x,cos x, concluímos que
tgx + cotgx = tgx ,cosec^2 x

Resposta

A identidade está demonstrada.

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