At some point last Saturday morning, it began snowing in Chicago (classic) at a constant rate. At noon, a snowplow began plowing University Avenue in a straight line, at a rate inversely proportional to the amount of snow on the ground. The plow covered exactly twice as much ground between noon and 1 pm , as it did between 1 pm and 2 pm (and it snowed at the same constant rate throughout). The goal of this problem is to determine what time it started snowing.
To that end, we let t be our time variable in hours (so that t=0 corresponds to noon), and suppose T is the time at which the snow began to fall. Let r denote the hourly snowfall rate, and let p(t) be the position of the snowplow at time t with p(0)=0.
Using the previous parts, find the value of T, and hence give the approximate time at which the snow began to fall.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um problema envolvendo movimento de um caminhão de neve que começa a trabalhar ao meio-dia, quando já veio neve começando a cair desde um certo horário da manhã. A quantidade de neve que caiu no chão aumenta a uma taxa constante. A velocidade do caminhão de neve é inversamente proporcional à quantidade de neve acumulada no chão. Sabemos também que o caminhão percorreu o dobro da distância entre meio-dia e 1 da tarde comparado ao que percorreu entre 1 e 2 da tarde. Queremos descobrir a que horas exatamente a neve começou a cair.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de proporcionalidade inversa e movimento retilíneo uniforme, aplicando fórmulas matemáticas para relacionar velocidade, tempo e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • t é o tempo em horas, onde t = 0 corresponde ao meio-dia.
  • T é o tempo em que a neve começou a cair.
  • r é a taxa de queda de neve por hora (constante).
  • p(t) é a posição do caminhão de neve no tempo t , com p(0) = 0 (começa a partir de zero).

Passo 3

Como a velocidade do caminhão é inversamente proporcional à quantidade de neve no chão, podemos expressar a velocidade v(t) da seguinte forma:
v(t) = kS(t)
Onde k é uma constante de proporcionalidade e S(t) é a quantidade de neve acumulada no chão no tempo t .

Passo 4

A quantidade de neve acumulada S(t) desde o início da neve até o tempo t é dada por:
S(t) = r cdot (t - T)
Aqui, t - T é o tempo que a neve está caindo até o momento t , já que a neve começou a cair no tempo T .

Passo 5

Substituindo S(t) na expressão da velocidade, temos:
v(t) = kr cdot (t - T)

Passo 6

A posição p(t) do caminhão de neve é a integral da velocidade em relação ao tempo:
p(t) = integral0^t v(tau) , dtau = integral0^t kr cdot (tau - T) , dtau

Passo 7

Vamos resolver essa integral:
p(t) = kr integral0^t 1tau - T , dtau = kr [ ln|tau - T| ]0^t = kr ( ln(t - T) - ln(-T) )
Simplificando:
p(t) = kr ln( t - T-T )

Passo 8

Sabemos que a distância percorrida entre 0 e 1 hora é o dobro da distância percorrida entre 1 e 2 horas. Então:
p(1) - p(0) = 2 cdot (p(2) - p(1))
Como p(0) = 0 , fica:
p(1) = 2 cdot (p(2) - p(1))

Passo 9

Substituindo a expressão de p(t) :
kr ln( 1 - T-T ) = 2 ( kr ln( 2 - T-T ) - kr ln( 1 - T-T ) )
Os kr se cancelam:
ln( 1 - T-T ) = 2 ln( 2 - T-T ) - 2 ln( 1 - T-T )

Passo 10

Vamos simplificar a equação:
ln( 1 - T-T ) + 2 ln( 1 - T-T ) = 2 ln( 2 - T-T )
3 ln( 1 - T-T ) = 2 ln( 2 - T-T )

Passo 11

Podemos reescrever usando propriedades dos logaritmos:
ln( ( 1 - T-T )^3 ) = ln( ( 2 - T-T )^2 )
Como os logaritmos são iguais, os argumentos também são:
( 1 - T-T )^3 = ( 2 - T-T )^2

Passo 12

Vamos simplificar essa equação:
(1 - T)^3(-T)^3 = (2 - T)^2(-T)^2
Multiplicando ambos os lados por (-T)^3 :
(1 - T)^3 = (2 - T)^2 cdot (-T)

Passo 13

Expandindo os termos:
(1 - T)^3 = (4 - 4T + T^2) cdot (-T)
1 - 3T + 3T^2 - T^3 = -4T + 4T^2 - T^3

Passo 14

Rearranjando os termos:
1 - 3T + 3T^2 - T^3 + 4T - 4T^2 + T^3 = 0
1 + T - T^2 = 0

Passo 15

Resolvendo a equação quadrática:
T^2 - T - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
T = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Como T representa um tempo antes do meio-dia, descartamos a solução positiva:
T = 1 - raiz52 approx -0,618 horas
Isso significa que a neve começou a cair aproximadamente 0,618 horas antes do meio-dia, ou seja, cerca de 37 minutos antes.

Resposta

A neve começou a cair aproximadamente 37 minutos antes do meio-dia.

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