At some point last Saturday morning, it began snowing in Chicago (classic) at a constant rate. At noon, a snowplow began plowing University Avenue in a straight line, at a rate inversely proportional to the amount of snow on the ground. The plow covered exactly twice as much ground between noon and 1 pm , as it did between 1 pm and 2 pm (and it snowed at the same constant rate throughout). The goal of this problem is to determine what time it started snowing.
To that end, we let
be our time variable in hours (so that
corresponds to noon), and suppose
is the time at which the snow began to fall. Let
denote the hourly snowfall rate, and let
be the position of the snowplow at time
with
.
Using the previous parts, find the value of
, and hence give the approximate time at which the snow began to fall.
To that end, we let
Using the previous parts, find the value of
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um problema envolvendo movimento de um caminhão de neve que começa a trabalhar ao meio-dia, quando já veio neve começando a cair desde um certo horário da manhã. A quantidade de neve que caiu no chão aumenta a uma taxa constante. A velocidade do caminhão de neve é inversamente proporcional à quantidade de neve acumulada no chão. Sabemos também que o caminhão percorreu o dobro da distância entre meio-dia e 1 da tarde comparado ao que percorreu entre 1 e 2 da tarde. Queremos descobrir a que horas exatamente a neve começou a cair.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de proporcionalidade inversa e movimento retilíneo uniforme, aplicando fórmulas matemáticas para relacionar velocidade, tempo e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
é o tempo em horas, onde corresponde ao meio-dia. -
é o tempo em que a neve começou a cair. -
é a taxa de queda de neve por hora (constante). -
é a posição do caminhão de neve no tempo , com (começa a partir de zero).
Passo 3
Como a velocidade do caminhão é inversamente proporcional à quantidade de neve no chão, podemos expressar a velocidade
da seguinte forma:
Onde
é uma constante de proporcionalidade e
é a quantidade de neve acumulada no chão no tempo
.
Passo 4
A quantidade de neve acumulada
desde o início da neve até o tempo
é dada por:
Aqui,
é o tempo que a neve está caindo até o momento
, já que a neve começou a cair no tempo
.
Passo 5
Substituindo
na expressão da velocidade, temos:
Passo 6
A posição
do caminhão de neve é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Passo 7
Vamos resolver essa integral:
Simplificando:
Passo 8
Sabemos que a distância percorrida entre 0 e 1 hora é o dobro da distância percorrida entre 1 e 2 horas. Então:
Como
, fica:
Passo 9
Substituindo a expressão de
:
Os
se cancelam:
Passo 10
Vamos simplificar a equação:
Passo 11
Podemos reescrever usando propriedades dos logaritmos:
Como os logaritmos são iguais, os argumentos também são:
Passo 12
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 13
Expandindo os termos:
Passo 14
Rearranjando os termos:
Passo 15
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
representa um tempo antes do meio-dia, descartamos a solução positiva:
Isso significa que a neve começou a cair aproximadamente 0,618 horas antes do meio-dia, ou seja, cerca de 37 minutos antes.
Resposta
A neve começou a cair aproximadamente 37 minutos antes do meio-dia.