Demonstre as seguintes identidades:
\int_{S} \hat{n} \times \vec{\nabla} \varphi d a=\oint_{C} \varphi d \vec{l}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
\int_{S} \hat{n} \times \nabla \varphi \, d a = \oint_{C} \varphi \, d\vec{l}.
Informações dadas (assumidas necessárias para a demonstração):
  • S é uma superfície orientada, com vetor normal unitário \hat{n} bem definido e suave;
  • C=\partial S é a fronteira (curva fechada) de S, orientada segundo a regra da mão direita em relação a \hat n;
  • \varphi é um campo escalar suficientemente suave (derivadas contínuas) na vizinhança de S;
  • d a é o elemento de área sobre S e d\vec l é o elemento de linha ao longo de C.
O enunciado pede provar que o vetor obtido integrando \hat n\times\nabla\varphi sobre a área de S é igual ao vetor obtido integrando \varphi\,d\vec l ao longo da curva C.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: o Teorema de Stokes em sua forma vetorial. Em linguagem clara, o Teorema de Stokes diz:
\int_{S} (\nabla \times \vec{F})\cdot \hat{n}\, d a \;=\; \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{l},
onde \vec{F} é um campo vetorial suficientemente suave em uma vizinhança de S.
Explicando cada parte:
  • \vec{F} é um campo vetorial cujo rotacional \nabla\times\vec F existe;
  • (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n é a componente normal do rotacional sobre S;
  • a orientação de C deve ser compatível com \hat n pela regra da mão direita (se virar os dedos na direção de C, o polegar aponta para \hat n).
Essa fórmula relaciona uma integral de superfície (do rotacional) com uma integral de linha (do campo) — é a ponte que precisamos.

Passo 3

Ideia do truque: escolher um campo vetorial \vec{F} simples construído a partir de \varphi de modo que o rotacional de \vec{F} envolva \nabla\varphi. Uma escolha conveniente é tomar \vec{F}=\varphi\,\vec{c}, onde \vec{c} é um vetor constante arbitrário (fixo no espaço, não dependente de posição).
Agora calculemos o rotacional de \vec{F}. Usando a regra do rotacional para produto escalar por vetor constante:
\nabla\times(\varphi\,\vec{c}) \;=\; \nabla\varphi \times \vec{c} \;+\; \varphi\,(\nabla\times\vec{c}).
Como \vec{c} é constante, \nabla\times\vec{c}=\vec{0}. Logo
\nabla\times(\varphi\,\vec{c}) \;=\; \nabla\varphi \times \vec{c}.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes ao campo \vec{F}=\varphi\,\vec{c}:
\int_{S} \big(\nabla\varphi \times \vec{c}\big)\cdot \hat{n}\, d a \;=\; \oint_{C} (\varphi\,\vec{c})\cdot d\vec{l}.
No lado direito podemos tirar \vec{c} para fora do produto interno por linearidade:
\oint_{C} (\varphi\,\vec{c})\cdot d\vec{l} \;=\; \vec{c}\cdot \oint_{C} \varphi\, d\vec{l}.
No lado esquerdo use a identidade do produto misto (produto escalar de um produto vetorial):
\big(\nabla\varphi \times \vec{c}\big)\cdot \hat{n} \;=\; \vec{c}\cdot\big(\hat{n}\times \nabla\varphi\big).
Assim a igualdade fica
\int_{S} \vec{c}\cdot\big(\hat{n}\times \nabla\varphi\big)\, d a \;=\; \vec{c}\cdot \oint_{C} \varphi\, d\vec{l}.

Passo 5

Como a integral de área é linear e \vec{c} é constante, podemos escrever
\vec{c}\cdot \left(\int_{S} \hat{n}\times \nabla\varphi \, d a \right) \;=\; \vec{c}\cdot \left(\oint_{C} \varphi\, d\vec{l}\right).
Portanto, para o vetor arbitrário constante \vec{c} temos
\vec{c}\cdot \vec{A} = \vec{c}\cdot \vec{B},
onde definimos
\vec{A} \equiv \int_{S} \hat{n}\times \nabla\varphi \, d a,\qquad \vec{B} \equiv \oint_{C} \varphi\, d\vec{l}.

Passo 6

Conclusão por arbitrariedade de \vec{c}: se dois vetores \vec{A} e \vec{B} satisfazem \vec{c}\cdot\vec{A}=\vec{c}\cdot\vec{B} para todo vetor constante \vec{c}, então necessariamente \vec{A}=\vec{B}. (Argumento simples: escolhe-se \vec{c} como cada vetor da base canônica para igualar coordenadas.) Aplicando esse fato obtemos a identidade desejada:
\int_{S} \hat{n}\times \nabla\varphi \, d a \;=\; \oint_{C} \varphi\, d\vec{l}.

Passo 7

Observações finais e cuidado com orientação:
  • A orientação de C deve ser compatível com \hat n pela regra da mão direita; se a orientação de C for tomada no sentido oposto, o lado direito muda de sinal.
  • Requisitos técnicos: \varphi precisa ser diferenciável suficiente para que \nabla\varphi e as integrais existam; S deve ser uma superfície com fronteira C bem definida.

Passo 8

Pequena verificação simples (exemplo concreto para ganhar intuição): tomar S como o quadrado unitário no plano z=0 com \hat n=\hat k e \varphi(x,y)=x. Então \nabla\varphi=\hat i, logo \hat n\times\nabla\varphi=\hat k\times\hat i=\hat j. A integral de superfície dá \int_S \hat j\, d a = \hat j\cdot (\text{área do quadrado}) = \hat já. A integral de linha ao longo do contorno usado no sentido anti-horário é \oint_C \varphi\, d\vec l = \hat j. Ambas coincidem, checando a fórmula neste caso simples.

Resposta

\int_{S} \hat{n} \times \nabla \varphi \, d a \;=\; \oint_{C} \varphi \, d\vec{l}

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