Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
Informações dadas (assumidas necessárias para a demonstração):
-
é uma superfície orientada, com vetor normal unitário bem definido e suave; -
é a fronteira (curva fechada) de , orientada segundo a regra da mão direita em relação a ; -
é um campo escalar suficientemente suave (derivadas contínuas) na vizinhança de ; -
é o elemento de área sobre e é o elemento de linha ao longo de .
O enunciado pede provar que o vetor obtido integrando
sobre a área de
é igual ao vetor obtido integrando
ao longo da curva
.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: o Teorema de Stokes em sua forma vetorial. Em linguagem clara, o Teorema de Stokes diz:
onde
é um campo vetorial suficientemente suave em uma vizinhança de
.
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
é um campo vetorial cujo rotacional existe; -
é a componente normal do rotacional sobre ; - a orientação de
deve ser compatível com pela regra da mão direita (se virar os dedos na direção de , o polegar aponta para ).
Essa fórmula relaciona uma integral de superfície (do rotacional) com uma integral de linha (do campo) — é a ponte que precisamos.
Passo 3
Ideia do truque: escolher um campo vetorial
simples construído a partir de
de modo que o rotacional de
envolva
. Uma escolha conveniente é tomar
, onde
é um vetor constante arbitrário (fixo no espaço, não dependente de posição).
Agora calculemos o rotacional de
. Usando a regra do rotacional para produto escalar por vetor constante:
Como
é constante,
. Logo
Passo 4
Aplicando o Teorema de Stokes ao campo
:
No lado direito podemos tirar
para fora do produto interno por linearidade:
No lado esquerdo use a identidade do produto misto (produto escalar de um produto vetorial):
Assim a igualdade fica
Passo 5
Como a integral de área é linear e
é constante, podemos escrever
Portanto, para o vetor arbitrário constante
temos
onde definimos
Passo 6
Conclusão por arbitrariedade de
: se dois vetores
e
satisfazem
para todo vetor constante
, então necessariamente
. (Argumento simples: escolhe-se
como cada vetor da base canônica para igualar coordenadas.) Aplicando esse fato obtemos a identidade desejada:
Passo 7
Observações finais e cuidado com orientação:
- A orientação de
deve ser compatível com pela regra da mão direita; se a orientação de for tomada no sentido oposto, o lado direito muda de sinal. - Requisitos técnicos:
precisa ser diferenciável suficiente para que e as integrais existam; deve ser uma superfície com fronteira bem definida.
Passo 8
Pequena verificação simples (exemplo concreto para ganhar intuição): tomar
como o quadrado unitário no plano
com
e
. Então
, logo
. A integral de superfície dá
. A integral de linha ao longo do contorno usado no sentido anti-horário é
. Ambas coincidem, checando a fórmula neste caso simples.