Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e o que temos: demonstrar a identidade vetorial
Informações dadas e convenções que vou usar (pegue isso como o “kit de ferramentas”):
-
e são campos vetoriais de posição com componentes e , onde . - A derivada parcial em relação à coordenada
é denotada por . - Vou trabalhar componente a componente (notação de índices) e usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre
. - Símbolos que serão usados e seus significados:
-
é o símbolo de Levi-Civita (usado para produto vetorial por componentes). -
é o delta de Kronecker (identidade). -
. -
.
O objetivo é mostrar que, componente a componente, a igualdade desejada vale. Não vou assumir que você conheça de cor as identidades com; vou explicá-las quando usar.
-
Passo 2
Expresso o lado esquerdo componente a componente. Começo com a definição de rotacional em índices:
Agora substituo a expressão do produto vetorial por componentes:
Portanto
Aqui a soma em
está implícita (Einstein). Até aqui é só aplicar definições.
Passo 3
Uso a identidade padrão para o produto de dois símbolos de Levi-Civita, que é fundamental e muito útil:
Explicando: ao somar sobre
nesse produto de
obtém-se combinações de deltas que trocam índices. Essa identidade pode ser verificada com alguns valores ou vista em tabelas de cálculo vetorial; aqui vou usá-la diretamente (é uma ferramenta padrão). Aplicando-a ao termo anterior, contraindo o índice
, obtenho
A ideia agora é usar os deltas para simplificar as substituições de índices.
Passo 4
Avalio a ação dos deltas sobre os índices para remover
e
. Pelo efeito dos deltas:
Portanto
Até aqui transformei o rotacional do produto vetorial numa diferença de duas derivadas parciais — já um grande progresso.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto (produto de funções) nas derivadas parciais. Lembre que para quaisquer componentes
e
,
Usando isso nas duas parcelas:
Substituindo essas duas expressões na fórmula do passo anterior obtenho
Passo 6
Agora interpreto cada termo na notação vetorial conhecida:
-
é a divergência de , ou seja . -
é . -
é a componente do operador direcional . Em notação vetorial, . -
é a componente de .
Reescrevendo cada termo da expressão componente por componente:
Passo 7
Finalmente, voltando da forma componente para a forma vetorial (juntando as componentes
numa igualdade de vetores), obtenho exatamente a identidade desejada:
Feito: cada passo foi apenas aplicação das definições (rotacional e produto vetorial em componentes), da identidade do produto de dois
e da regra do produto para derivadas.