Demonstre as seguintes identidades:
\vec{\nabla} \times(\vec{F} \times \vec{G})=(\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) \vec{F}-(\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \vec{G}+(\vec{G} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F}-(\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{G}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e o que temos: demonstrar a identidade vetorial
\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G})=(\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\,\vec{F}-(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\,\vec{G}+(\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}-(\vec{F}\cdot\vec{\nabla})\vec{G}.
Informações dadas e convenções que vou usar (pegue isso como o “kit de ferramentas”):
  • \vec{F}(\vec{x}) e \vec{G}(\vec{x}) são campos vetoriais de posição com componentes F_i(\vec{x}) e G_i(\vec{x}), onde i=1,2,3.
  • A derivada parcial em relação à coordenada x_j é denotada por \partial_j\equiv\frac{\partial}{\partial x_j}.
  • Vou trabalhar componente a componente (notação de índices) e usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3.
  • Símbolos que serão usados e seus significados:
    • \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (usado para produto vetorial por componentes).
    • \delta_{ij} é o delta de Kronecker (identidade).
    • (\nabla\times\vec{V})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j V_k.
    • (\vec{F}\times\vec{G})_k=\varepsilon_{klm}F_lG_m.
      O objetivo é mostrar que, componente a componente, a igualdade desejada vale. Não vou assumir que você conheça de cor as identidades com \varepsilon; vou explicá-las quando usar.

Passo 2

Expresso o lado esquerdo componente a componente. Começo com a definição de rotacional em índices:
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j(\vec{F}\times\vec{G})_k.
Agora substituo a expressão do produto vetorial por componentes:
(\vec{F}\times\vec{G})_k=\varepsilon_{klm}F_lG_m.
Portanto
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\big(\varepsilon_{klm}F_lG_m\big).
Aqui a soma em k,l,m está implícita (Einstein). Até aqui é só aplicar definições.

Passo 3

Uso a identidade padrão para o produto de dois símbolos de Levi-Civita, que é fundamental e muito útil:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Explicando: ao somar sobre k nesse produto de \varepsilon obtém-se combinações de deltas que trocam índices. Essa identidade pode ser verificada com alguns valores ou vista em tabelas de cálculo vetorial; aqui vou usá-la diretamente (é uma ferramenta padrão). Aplicando-a ao termo anterior, contraindo o índice k, obtenho
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j(F_lG_m).
A ideia agora é usar os deltas para simplificar as substituições de índices.

Passo 4

Avalio a ação dos deltas sobre os índices para remover l e m. Pelo efeito dos deltas:
(\delta_{il}\delta_{jm})\partial_j(F_lG_m)=\partial_j(F_iG_j),
(\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j(F_lG_m)=\partial_j(F_jG_i).
Portanto
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i=\partial_j(F_iG_j)-\partial_j(F_jG_i).
Até aqui transformei o rotacional do produto vetorial numa diferença de duas derivadas parciais — já um grande progresso.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto (produto de funções) nas derivadas parciais. Lembre que para quaisquer componentes A e B,
\partial_j(A B)= (\partial_j A)\,B + A\,(\partial_j B).
Usando isso nas duas parcelas:
\partial_j(F_iG_j)=(\partial_j F_i)\,G_j + F_i\,(\partial_j G_j),
\partial_j(F_jG_i)=(\partial_j F_j)\,G_i + F_j\,(\partial_j G_i).
Substituindo essas duas expressões na fórmula do passo anterior obtenho
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i= (\partial_j F_i)G_j + F_i(\partial_j G_j) - (\partial_j F_j)G_i - F_j(\partial_j G_i).

Passo 6

Agora interpreto cada termo na notação vetorial conhecida:
  • \partial_j G_j é a divergência de \vec{G}, ou seja \partial_j G_j=\vec{\nabla}\cdot\vec{G}.
  • \partial_j F_j é \vec{\nabla}\cdot\vec{F}.
  • G_j\partial_j F_i é a componente i do operador direcional (\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}. Em notação vetorial, ((\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F})_i=G_j\partial_j F_i.
  • F_j\partial_j G_i é a componente i de (\vec{F}\cdot\vec{\nabla})\vec{G}.
    Reescrevendo cada termo da expressão componente por componente:
(\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G}))_i =(\vec{G}\cdot\vec{\nabla})F_i + (\vec{\nabla}\cdot\vec{G})F_i - (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})G_i - (\vec{F}\cdot\vec{\nabla})G_i.

Passo 7

Finalmente, voltando da forma componente para a forma vetorial (juntando as componentes i=1,2,3 numa igualdade de vetores), obtenho exatamente a identidade desejada:
\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G})=(\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\,\vec{F}-(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\,\vec{G}+(\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}-(\vec{F}\cdot\vec{\nabla})\vec{G}.
Feito: cada passo foi apenas aplicação das definições (rotacional e produto vetorial em componentes), da identidade do produto de dois \varepsilon e da regra do produto para derivadas.

Resposta

\vec{\nabla}\times(\vec{F}\times\vec{G})=(\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\,\vec{F}-(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\,\vec{G}+(\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}-(\vec{F}\cdot\vec{\nabla})\vec{G}.

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