Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado dá uma campo vetorial
(assumir suficientemente suave: derivadas parciais contínuas até segunda ordem) e pede para demonstrar a identidade
Informações relevantes fornecidas:
- Há um único campo vetorial
. - A demonstração deve mostrar igualdade entre dois campos vetoriais (cada componente coincide).
O que se pede: provar a igualdade componente a componente (ou por notação de índices).
Passo 2
Vamos relembrar e fixar as definições que vou usar (cada definição é importante e será usada explicitamente).
- Seja
. A divergência é
onde
, etc.
- O gradiente de um escalar
é
- O rotacional (curl) de
tem componentes
- O laplaciano escalar é
. - O laplaciano vetorial aplica-se componente a componente:
Essas fórmulas são todas em coordenadas cartesianas; por isso a demonstração componente a componente é direta e elementar.
Passo 3
Estratégia: calcular explicitamente a componente
do lado esquerdo
, expandir todas as derivadas parciais, reordenar termos e mostrar que essa componente é igual à componente
do lado direito
. Como as coordenadas são simétricas, o mesmo vale para as componentes
e
; alternativamente, farei também uma prova curta por notação de índices (mais compacta) para fechar a demonstração.
Passo 4
Calcule a componente
do rotacional do rotacional. Primeiro escrevo
:
com
Agora a componente
de
é
Substituindo
e
:
Agora agrupo os termos com
e os termos que formam o laplaciano de
:
No passo de regroupamento usei que
(troca de ordem de diferenciação é permitida pelas hipóteses de suavidade).]
Passo 5
Pelo mesmo raciocínio por simetria (ou repetindo o cálculo para as componentes
e
) obtém-se
Portanto, reunindo as três componentes em forma vetorial:
Passo 6
(Complemento compacto por notação de índices, se você curte uma prova mais elegante.) Usando notação de índices com soma de Einstein e o símbolo de Levi-Civita
,
Usando a identidade
obtém-se
que é exatamente a forma componente que já mostramos, e reconduz à forma vetorial escrita acima. Isso fecha a demonstração de forma elegante e curta.