Demonstre as seguintes identidades:
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{G})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{G})-\nabla^{2} \vec{G}

Passo 1

O enunciado dá uma campo vetorial \vec{G}(\vec{r}) (assumir suficientemente suave: derivadas parciais contínuas até segunda ordem) e pede para demonstrar a identidade
\vec{\nabla}\times\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{G}\bigr)=\vec{\nabla}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G}\bigr)-\nabla^{2}\vec{G}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um único campo vetorial \vec{G}.
  • A demonstração deve mostrar igualdade entre dois campos vetoriais (cada componente coincide).
    O que se pede: provar a igualdade componente a componente (ou por notação de índices).

Passo 2

Vamos relembrar e fixar as definições que vou usar (cada definição é importante e será usada explicitamente).
  • Seja \vec{G}=(G_x,G_y,G_z). A divergência é
\vec{\nabla}\cdot\vec{G}=\partial_x G_x+\partial_y G_y+\partial_z G_z,
onde \partial_x\equiv\frac{\partial}{\partial x}, etc.
  • O gradiente de um escalar f é
\vec{\nabla}f=(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f).
  • O rotacional (curl) de \vec{G} tem componentes
\vec{\nabla}\times\vec{G}=\bigl(\partial_y G_z-\partial_z G_y,\;\partial_z G_x-\partial_x G_z,\;\partial_x G_y-\partial_y G_x\bigr).
  • O laplaciano escalar é \nabla^2 f=\partial_x^2 f+\partial_y^2 f+\partial_z^2 f.
  • O laplaciano vetorial aplica-se componente a componente:
\nabla^2\vec{G}=\bigl(\nabla^2 G_x,\nabla^2 G_y,\nabla^2 G_z\bigr).
Essas fórmulas são todas em coordenadas cartesianas; por isso a demonstração componente a componente é direta e elementar.

Passo 3

Estratégia: calcular explicitamente a componente x do lado esquerdo \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G}), expandir todas as derivadas parciais, reordenar termos e mostrar que essa componente é igual à componente x do lado direito \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{G})-\nabla^{2}\vec{G}. Como as coordenadas são simétricas, o mesmo vale para as componentes y e z; alternativamente, farei também uma prova curta por notação de índices (mais compacta) para fechar a demonstração.

Passo 4

Calcule a componente x do rotacional do rotacional. Primeiro escrevo \vec{\nabla}\times\vec{G}:
\vec{\nabla}\times\vec{G}=\bigl(C_x,C_y,C_z\bigr)
com
C_x=\partial_y G_z-\partial_z G_y,\qquad C_y=\partial_z G_x-\partial_x G_z,\qquad C_z=\partial_x G_y-\partial_y G_x.
Agora a componente x de \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G}) é
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G})\bigr)_x=\partial_y C_z-\partial_z C_y.
Substituindo C_y e C_z:
\begin{aligned} \bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G})\bigr)_x &= \partial_y\bigl(\partial_x G_y-\partial_y G_x\bigr) - \partial_z\bigl(\partial_z G_x-\partial_x G_z\bigr)\\[4pt] &= \partial_y\partial_x G_y - \partial_y\partial_y G_x - \partial_z\partial_z G_x + \partial_z\partial_x G_z. \end{aligned}
Agora agrupo os termos com \partial_x e os termos que formam o laplaciano de G_x:
\begin{aligned} \bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G})\bigr)_x &= \partial_x\bigl(\partial_x G_x+\partial_y G_y+\partial_z G_z\bigr) - \bigl(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\bigr)G_x\\[4pt] &= \partial_x\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G}\bigr) - \nabla^2 G_x. \end{aligned}
No passo de regroupamento usei que \partial_y\partial_x G_y+\partial_z\partial_x G_z=\partial_x(\partial_y G_y+\partial_z G_z) (troca de ordem de diferenciação é permitida pelas hipóteses de suavidade).]

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio por simetria (ou repetindo o cálculo para as componentes y e z) obtém-se
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G})\bigr)_i=\partial_i\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G}\bigr)-\nabla^2 G_i \qquad\text{para }i=x,y,z.
Portanto, reunindo as três componentes em forma vetorial:
\vec{\nabla}\times\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{G}\bigr)=\vec{\nabla}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G}\bigr)-\nabla^{2}\vec{G}.

Passo 6

(Complemento compacto por notação de índices, se você curte uma prova mais elegante.) Usando notação de índices com soma de Einstein e o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk},
(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G}))_i = \epsilon_{ijk}\partial_j\bigl(\epsilon_{klm}\partial_l G_m\bigr).
Usando a identidade \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} obtém-se
(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{G}))_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j\partial_l G_m = \partial_i(\partial_j G_j)-\partial_j\partial_j G_i,
que é exatamente a forma componente que já mostramos, e reconduz à forma vetorial escrita acima. Isso fecha a demonstração de forma elegante e curta.

Resposta

\vec{\nabla}\times\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{G}\bigr)=\vec{\nabla}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G}\bigr)-\nabla^{2}\vec{G}.

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