Uma menina e um menino estão sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) todas as outras afirmativas são falsas
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) todas as outras afirmativas são falsas
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
Passo 1
O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas dadas, a afirmativa correta sobre o movimento do barco (canoa) e do centro de massa quando a menina e o menino trocam de lugar.
Informações dadas:
- A menina está inicialmente na extremidade direita da canoa.
- O menino (mais pesado) está inicialmente na extremidade esquerda da canoa.
- Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens.
- Em um dado instante, os dois trocam de lugar (cada um vai para a extremidade oposta).
- As opções a avaliar são:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) todas as outras afirmativas são falsas
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): se não há força externa horizontal resultante atuando sobre um conjunto de corpos, a posição do centro de massa horizontal do conjunto permanece fixa em relação à margem (ou seja, não se desloca). Aqui podemos considerar que a água exerce basicamente forças verticais e que não há impulsos horizontais externos importantes das margens — logo, a posição horizontal do centro de massa do sistema “menino + menina + canoa” não muda.
Definição do centro de massa horizontal (aula prática): para um conjunto de partículas/objetos com massas
e posições horizontais
, a coordenada do centro de massa
é
onde
é a massa total. Aqui cada
é a massa de um dos componentes (menino, menina, canoa) e
sua posição horizontal absoluta em relação às margens.
Passo 3
Escolha de notação e posições iniciais/finais (para montar as equações):
- Seja
a massa do menino, a massa da menina e a massa da canoa. - Seja
a massa total. - Seja
a posição inicial do centro da canoa (absoluta, em relação às margens). - Seja
a posição final do centro da canoa (após a troca). - Seja
a distância entre as extremidades da canoa (ou seja, a distância entre os dois assentos nas extremidades). Assim, em relação ao centro da canoa, as extremidades estão a .
Posições iniciais absolutas:
Posições finais absolutas (após trocarem de lugar, a canoa pode ter se deslocado para
):
Observação: a canoa como um todo tem sua massa concentrada, para efeito do cálculo do CM horizontal, no seu centro
inicialmente e em
depois.
Passo 4
Escrever a conservação da posição do centro de massa (como explicado): a posição do centro de massa inicial é igual à final:
Multiplicando por
e substituindo as posições dadas:
Agrupando termos que envolvem
e
:
Como
, subtrai-se
e passa-se o termo com
para o outro lado:
Calcule o coeficiente do
:
Portanto:
Simplificando:
Isolando o deslocamento da canoa
:
Passo 5
Interpretação do resultado (passo-a-passo, sem pular etapas):
- O deslocamento do centro da canoa é
. - Se o menino é mais pesado que a menina, então
. Assim e o quociente é negativo, portanto . -
significa que o centro da canoa deslocou-se no sentido negativo do eixo escolhido — ou seja, para a esquerda (já que tomamos positivo para a direita). - Conclusão física: a canoa se move para a esquerda quando o menino mais pesado troca de lado com a menina mais leve, de modo que o centro de massa total do sistema permaneça fixo (a posição do CM não se desloca em relação à margem).
Intuição curta e amiga: o menino mais pesado passou da esquerda para a direita da canoa; para que o centro de massa total do conjunto não mude, a canoa tem que “compensar” deslocando o seu centro para a esquerda. O centro de massa do sistema permanece onde estava (não se desloca), mas a canoa (e, portanto, os lugares relativos) se movem para a esquerda.
Passo 6
Verificação das alternativas:
- (a) o barco se move para a esquerda — verdadeiro (como acabamos de mostrar).
- (b) o barco fica sempre parado — falso.
- (c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda — falso; o centro de massa não se desloca (permanece fixo).
- (d) todas as outras afirmativas são falsas — falso, porque (a) é verdadeira.
- (e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita — falso.
Pequeno reforço numérico (opcional, para fixar): suponha
,
,
e
. Então
e
ou seja, a canoa desloca
para a esquerda — consistente com nosso sinal negativo e interpretação.
Resposta
(a)