Uma menina e um menino estão sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) todas as outras afirmativas são falsas
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas dadas, a afirmativa correta sobre o movimento do barco (canoa) e do centro de massa quando a menina e o menino trocam de lugar.
Informações dadas:
  • A menina está inicialmente na extremidade direita da canoa.
  • O menino (mais pesado) está inicialmente na extremidade esquerda da canoa.
  • Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens.
  • Em um dado instante, os dois trocam de lugar (cada um vai para a extremidade oposta).
  • As opções a avaliar são:
    (a) o barco se move para a esquerda
    (b) o barco fica sempre parado
    (c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
    (d) todas as outras afirmativas são falsas
    (e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): se não há força externa horizontal resultante atuando sobre um conjunto de corpos, a posição do centro de massa horizontal do conjunto permanece fixa em relação à margem (ou seja, não se desloca). Aqui podemos considerar que a água exerce basicamente forças verticais e que não há impulsos horizontais externos importantes das margens — logo, a posição horizontal do centro de massa do sistema “menino + menina + canoa” não muda.
Definição do centro de massa horizontal (aula prática): para um conjunto de partículas/objetos com massas m_i e posições horizontais x_i, a coordenada do centro de massa \bar{x} é
\bar{x}=\frac{1}{M}\sum_i m_i x_i,
onde M=\sum_i m_i é a massa total. Aqui cada m_i é a massa de um dos componentes (menino, menina, canoa) e x_i sua posição horizontal absoluta em relação às margens.

Passo 3

Escolha de notação e posições iniciais/finais (para montar as equações):
  • Seja m_b a massa do menino, m_g a massa da menina e m_c a massa da canoa.
  • Seja M=m_b+m_g+m_c a massa total.
  • Seja x_0 a posição inicial do centro da canoa (absoluta, em relação às margens).
  • Seja x_f a posição final do centro da canoa (após a troca).
  • Seja L a distância entre as extremidades da canoa (ou seja, a distância entre os dois assentos nas extremidades). Assim, em relação ao centro da canoa, as extremidades estão a \pm L/2.
Posições iniciais absolutas:
x_b^{(i)}=x_0 - \frac{L}{2}\quad\text{(menino na extremidade esquerda)}
x_g^{(i)}=x_0 + \frac{L}{2}\quad\text{(menina na extremidade direita)}
Posições finais absolutas (após trocarem de lugar, a canoa pode ter se deslocado para x_f):
x_b^{(f)}=x_f + \frac{L}{2}\quad\text{(menino agora na extremidade direita)}
x_g^{(f)}=x_f - \frac{L}{2}\quad\text{(menina agora na extremidade esquerda)}
Observação: a canoa como um todo tem sua massa concentrada, para efeito do cálculo do CM horizontal, no seu centro x_0 inicialmente e em x_f depois.

Passo 4

Escrever a conservação da posição do centro de massa (como explicado): a posição do centro de massa inicial é igual à final:
\frac{1}{M}\bigl(m_b x_b^{(i)} + m_g x_g^{(i)} + m_c x_0\bigr) = \frac{1}{M}\bigl(m_b x_b^{(f)} + m_g x_g^{(f)} + m_c x_f\bigr).
Multiplicando por M e substituindo as posições dadas:
m_b\Bigl(x_0-\frac{L}{2}\Bigr) + m_g\Bigl(x_0+\frac{L}{2}\Bigr) + m_c x_0 = m_b\Bigl(x_f+\frac{L}{2}\Bigr) + m_g\Bigl(x_f-\frac{L}{2}\Bigr) + m_c x_f.
Agrupando termos que envolvem x_0 e x_f:
(m_b+m_g+m_c)x_0 + (-m_b+m_g)\frac{L}{2} = (m_b+m_g+m_c)x_f + (m_b-m_g)\frac{L}{2}.
Como M=m_b+m_g+m_c, subtrai-se M x_f e passa-se o termo com L para o outro lado:
M(x_0-x_f) + \bigl((-m_b+m_g) - (m_b-m_g)\bigr)\frac{L}{2} = 0.
Calcule o coeficiente do L/2:
(-m_b+m_g) - (m_b-m_g) = -2m_b + 2m_g = 2(m_g-m_b).
Portanto:
M(x_0-x_f) + 2(m_g-m_b)\frac{L}{2}=0.
Simplificando:
M(x_0-x_f) + (m_g-m_b)L=0.
Isolando o deslocamento da canoa x_f-x_0:
x_f-x_0=\frac{(m_g-m_b)L}{M}.

Passo 5

Interpretação do resultado (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • O deslocamento do centro da canoa é \displaystyle x_f-x_0=\frac{(m_g-m_b)L}{M}.
  • Se o menino é mais pesado que a menina, então m_b>m_g. Assim m_g-m_b<0 e o quociente é negativo, portanto x_f-x_0<0.
  • x_f-x_0<0 significa que o centro da canoa deslocou-se no sentido negativo do eixo escolhido — ou seja, para a esquerda (já que tomamos x positivo para a direita).
  • Conclusão física: a canoa se move para a esquerda quando o menino mais pesado troca de lado com a menina mais leve, de modo que o centro de massa total do sistema permaneça fixo (a posição do CM não se desloca em relação à margem).
Intuição curta e amiga: o menino mais pesado passou da esquerda para a direita da canoa; para que o centro de massa total do conjunto não mude, a canoa tem que “compensar” deslocando o seu centro para a esquerda. O centro de massa do sistema permanece onde estava (não se desloca), mas a canoa (e, portanto, os lugares relativos) se movem para a esquerda.

Passo 6

Verificação das alternativas:
  • (a) o barco se move para a esquerda — verdadeiro (como acabamos de mostrar).
  • (b) o barco fica sempre parado — falso.
  • (c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda — falso; o centro de massa não se desloca (permanece fixo).
  • (d) todas as outras afirmativas são falsas — falso, porque (a) é verdadeira.
  • (e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita — falso.
Pequeno reforço numérico (opcional, para fixar): suponha m_b=70, m_g=30, m_c=20 e L=4. Então M=120 e
x_f-x_0=\frac{(30-70)\cdot 4}{120}=\frac{-160}{120}=-\frac{4}{3}\\ \text{(m)},
ou seja, a canoa desloca 1{,}33\\ \text{m} para a esquerda — consistente com nosso sinal negativo e interpretação.

Resposta

(a)

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