Demonstre as seguintes identidades vetoriais:
nabla times(f v)=f(nabla times v)+nabla f times v

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra do produto para o rotacional, ou seja, mostrar que
nablatimes(f,vec v) = f,(nablatimesvec v)+(nablaf)timesvec v
Estamos em cálculo vetorial, e vamos usar a definição do rotacional em componentes e a regra do produto de derivadas.

Passo 2

Pela definição, o rotacional de um campo vetorial vec A=(Ax,Ay,Az) é
nablatimesvec A = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz Ax & Ay & Az
Então, para vec A=f,vec v basta substituir Ai=f,vi nesse determinante.

Passo 3

Calculamos componente a componente e aplicamos a regra do produto:
(nablatimes(f,vec v))x =partialy(f,vz)-partialz(f,vy) =f,partialy vz+(partialy f),vz -l(f,partialz vy+(partialz f),vyr)
Analogamente,
(nablatimes(f,vec v))y =f,partialz vx+(partialz f),vx -l(f,partialx vz+(partialx f),vzr),
(nablatimes(f,vec v))z =f,partialx vy+(partialx f),vy -l(f,partialy vx+(partialy f),vxr)

Passo 4

Em cada componente, os termos f,partialj vk - f,partialk vj formam f,(nablatimesvec v)i, e os termos (partialj f),vk - (partialk f),vj formam (nablaftimesvec v)i. Como isso vale para i=x,y,z, concluímos a identidade vetorial.

Resposta

nablatimes(f,vec v) = f,(nablatimesvec v)+(nablaf)timesvec v

Exercícios relacionados