Mostre que a menor curva y=y(x) entre dois pontos do plano (x0, y0) e (x1, y1) é obtida minimizando o funcional,
integralx0^x1(1+y^prime 2)^1 / 2 d x
e demonstre que esta curva é uma reta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva y=y(x) que, ligando l(x0,y0r) a l(x1,y1r), minimiza o comprimento
integralx0^x1raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx
O conteúdo usado será Cálculo Variacional, em especial a equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Definimos o integrando
Ll(x,y,y'r)=raiz1 + (y')^2
Como L não depende explicitamente de y, temos
partial Lpartial y=0, partial Lpartial y'=y'raiz1+(y')^2

Passo 3

A equação de Euler–Lagrange é
ddx!gl(partial Lpartial y'gr) -partial Lpartial y=0 Longrightarrow ddx!l(tfracy'raiz1+(y')^2r)=0
Isto implica que
y'raiz1+(y')^2=C
é uma constante.

Passo 4

Da relação y'raiz1+(y')^2=C temos
y' = C,raiz1+(y')^2 Longrightarrow (y')^2 = C^2l(1+(y')^2r) Longrightarrow (y')^2l(1 - C^2r)=C^2
Como C é constante, segue que (y')^2 é constante, logo y' é constante; seja y'=k.

Passo 5

Integrando y'=k obtemos
y(x)=k,x + b
Impondo as condições de contorno y(x0)=y0 e y(x1)=y1
k = y1-y0x1-x0, b = y0 - k,x0
Logo a curva que minimiza o comprimento é a reta que une os dois pontos.

Resposta

A curva de comprimento mínimo entre l(x0,y0r) e l(x1,y1r) é a reta
y(x)=y1-y0x1-x0;x +l(y0-y1-y0x1-x0,x0r)

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