Mostre que a menor curva
entre dois pontos do plano
e
é obtida minimizando o funcional,
e demonstre que esta curva é uma reta.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a curva
que, ligando
a
, minimiza o comprimento
O conteúdo usado será Cálculo Variacional, em especial a equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Definimos o integrando
Como
não depende explicitamente de
, temos
Passo 3
A equação de Euler–Lagrange é
Isto implica que
é uma constante.
Passo 4
Da relação
temos
Como
é constante, segue que
é constante, logo
é constante; seja
.
Passo 5
Integrando
obtemos
Impondo as condições de contorno
e
dá
Logo a curva que minimiza o comprimento é a reta que une os dois pontos.
Resposta
A curva de comprimento mínimo entre
e
é a reta