Mostre que a condição de extremo para o funcional,
I=integrala^b F(y(x), y^prime(x), y^prime prime(x) ; x) d x
é dada por,
partial Fpartial y-dd x partial Fpartial y^prime+d^2d x^2 partial Fpartial y^prime prime=0
Considere que, para x=a e x=b, têm-se de<a y^prime(x)=0 e de<a y(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para obter a condição de extremo (Euler–Lagrange de ordem superior) para o funcional
I=integrala^bFl(y,y',y'';xr),dx
sujeito às variações que satisfazem
de<a y(a)=de<a y(b)=0 e de<a y'(a)=de<a y'(b)=0.
O conteúdo é cálculo das variações com dependência até segunda derivada.

Passo 2

Escrevemos a primeira variação do funcional:
de<a I =integrala^b l[ partial Fpartial y,de<a y +partial Fpartial y',de<a y' +partial Fpartial y'',de<a y'' r]dx

Passo 3

Integramos por partes o termo que contém de<a y':
integrala^bpartial Fpartial y',de<a y',dx =partial Fpartial y',de<a y|a^b -integrala^bddx!l(partial Fpartial y'r),de<a y,dx
Como de<a y(a)=de<a y(b)=0, o termo de fronteira desaparece, restando
integrala^bpartial Fpartial y',de<a y',dx =-integrala^bddx!l(partial Fpartial y'r),de<a y,dx

Passo 4

Integramos por partes duas vezes o termo que contém de<a y''. Primeiro:
integrala^bpartial Fpartial y'',de<a y'',dx =partial Fpartial y'',de<a y'|a^b -integrala^bddx!l(partial Fpartial y''r),de<a y',dx
O termo de fronteira some porque de<a y'(a)=de<a y'(b)=0. Agora integramos por partes o integral remanescente:
integrala^bddx!l(partial Fpartial y''r),de<a y',dx =ddx!l(partial Fpartial y''r),de<a y|a^b -integrala^bd^2dx^2!l(partial Fpartial y''r),de<a y,dx
De novo o termo de fronteira desaparece. Assim
integrala^bpartial Fpartial y'',de<a y'',dx =-l[, -integrala^bd^2dx^2!l(partial Fpartial y''r),de<a y,dxr] =integrala^bd^2dx^2!l(partial Fpartial y''r),de<a y,dx

Passo 5

Reunindo tudo em de<a I:
de<a I =integrala^bl[ partial Fpartial y,de<a y -ddx!l(partial Fpartial y'r),de<a y +d^2dx^2!l(partial Fpartial y''r),de<a y r]dx =integrala^bl[ partial Fpartial y -ddx!l(partial Fpartial y'r) +d^2dx^2!l(partial Fpartial y''r) r]de<a y,dx
Pela lema fundamental do cálculo das variações, como de<a y é arbitrária, o coeficiente deve ser nulo.

Resposta

partial Fpartial y -ddxpartial Fpartial y' +d^2dx^2partial Fpartial y'' =0

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