Mostre que a condição de extremo para o funcional,
é dada por,
Considere que, para
e
, têm-se
e
.
Passo 1
O enunciado pede para obter a condição de extremo (Euler–Lagrange de ordem superior) para o funcional
sujeito às variações que satisfazem
e
.
O conteúdo é cálculo das variações com dependência até segunda derivada.
O conteúdo é cálculo das variações com dependência até segunda derivada.
Passo 2
Escrevemos a primeira variação do funcional:
Passo 3
Integramos por partes o termo que contém
:
Como
de<a y(a)=de<a y(b)=0 , o termo de fronteira desaparece, restando
Passo 4
Integramos por partes duas vezes o termo que contém
de<a y'' . Primeiro:
O termo de fronteira some porque
de<a y'(a)=de<a y'(b)=0 . Agora integramos por partes o integral remanescente:
De novo o termo de fronteira desaparece. Assim
Passo 5
Reunindo tudo em
de<a I :
Pela lema fundamental do cálculo das variações, como
de<a y é arbitrária, o coeficiente deve ser nulo.