O princípio de Fermat estabelece que se a velocidade da luz é dada por uma função contínua
, a trajetória da luz unindo os pontos
e
em um plano é tal que a integral,
é um mínimo. (a) Obtenha a lei de Snell a partir do princípio de Fermat, ou seja, mostre que
constante, sendo
o ângulo da tangente à curva com o eixo
. (b) Suponha que a luz caminha no plano
, de tal maneira que sua velocidade seja proporcioanal a
. Então, prove que os raios emitidos de qualquer ponto são círculos de centro no eixo
.
Passo 1
O enunciado usa o princípio de Fermat na forma de um problema de cálculo de variações: a luz viaja entre
e
minimizando o tempo
onde
é contínua e
é o elemento de arco no plano
. Em (a) vamos derivar a lei de Snell usando Euler–Lagrange; em (b) vamos aplicar essa lei a
e mostrar que as trajetórias são círculos com centro no eixo
.
Passo 2
Parametrizando a curva como
, temos
logo a funcional a minimizar é
Como
não depende explicitamente de
, a quantidade
é constante, digamos
. Reconhecendo que o ângulo
entre a tangente e o eixo
satisfaz
segue
que é a lei de Snell desejada.
Passo 3
Agora suponha
com
constante. Da lei de Snell temos
ou seja
com
. Então
Integrando,
Reescrevendo,
ou seja, uma circunferência de centro
no eixo
e raio
.
Resposta
(a)
(b) As trajetórias satisfazem , isto é, são círculos com centro no eixo
.
(b) As trajetórias satisfazem