O princípio de Fermat estabelece que se a velocidade da luz é dada por uma função contínua u=u(y), a trajetória da luz unindo os pontos (x1, y1) e (x2, y2) em um plano é tal que a integral,
t12=integral1^2 d su
é um mínimo. (a) Obtenha a lei de Snell a partir do princípio de Fermat, ou seja, mostre que s e n phiu= constante, sendo phi o ângulo da tangente à curva com o eixo y. (b) Suponha que a luz caminha no plano x y, de tal maneira que sua velocidade seja proporcioanal a y. Então, prove que os raios emitidos de qualquer ponto são círculos de centro no eixo x.

Passo 1

O enunciado usa o princípio de Fermat na forma de um problema de cálculo de variações: a luz viaja entre (x1,y1) e (x2,y2) minimizando o tempo
t12 ;=;integral1^2dsu(y)
onde u(y) é contínua e ds é o elemento de arco no plano xy. Em (a) vamos derivar a lei de Snell usando Euler–Lagrange; em (b) vamos aplicar essa lei a u(y)propto y e mostrar que as trajetórias são círculos com centro no eixo x.

Passo 2

Parametrizando a curva como x=x(y), temos
ds=raizdx^2+dy^2=raiz1+l(x'r)^2,dy,
logo a funcional a minimizar é
t=integraly1^y2Ll(y,x'r),dy, L=raiz1+(x')^2u(y)
Como L não depende explicitamente de x, a quantidade
partial Lpartial x'=x'u(y)raiz1+(x')^2
é constante, digamos k. Reconhecendo que o ângulo phi entre a tangente e o eixo y satisfaz
sinphi=dx/dyraiz1+(dx/dy)^2=x'raiz1+(x')^2,
segue
sinphiu(y)=kLongrightarrow sinphiu=constante,
que é a lei de Snell desejada.

Passo 3

Agora suponha u(y)=M,y com M constante. Da lei de Snell temos
sinphi = k,u(y)=k,M,y,
ou seja sinphi = a,y com a=kM. Então
dxdy=tanphi=sinphiraiz1-sin^2phi =a,yraiz1-a^2y^2
Integrando,
x = integral a,yraiz1-a^2y^2,dy =-1araiz1-a^2y^2+C
Reescrevendo,
raiz1-a^2y^2=-a,(x-C) Longrightarrow (x-C)^2 + y^2 = 1a^2,
ou seja, uma circunferência de centro (C,0) no eixo x e raio 1/|a|.

Resposta

(a) sinphiu=constante
(b) As trajetórias satisfazem (x-C)^2+y^2=1/a^2, isto é, são círculos com centro no eixo x.

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