Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade vetorial usando outras identidades que a gente já conhece. Estamos lidando com produtos vetoriais (
) e produtos escalar (
) de vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos produtos vetoriais e escalares, além de algumas regras de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade do produto vetorial duplo, que nos ajuda a expandir uma expressão como
. A identidade é:
Vamos usar essa identidade para expandir o lado esquerdo da nossa expressão original.
Passo 3
Vamos definir:
Então, a expressão que queremos demonstrar fica:
Passo 4
Agora, aplicando a identidade do produto vetorial duplo que mencionamos no Passo 2, temos:
Isso exatamente corresponde ao lado direito da identidade que queremos demonstrar.
Passo 5
Portanto, ao aplicar a identidade do produto vetorial duplo diretamente à expressão original, conseguimos transformar o lado esquerdo na forma do lado direito. Isso confirma que a identidade está correta.
Resposta
A identidade vetorial está demonstrada corretamente: