Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
(a times b) times(c times d)=(a times b cdot d) c-(a times b cdot c) d,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade vetorial usando outras identidades que a gente já conhece. Estamos lidando com produtos vetoriais ( ) e produtos escalar ( ) de vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos produtos vetoriais e escalares, além de algumas regras de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade do produto vetorial duplo, que nos ajuda a expandir uma expressão como (A times B) times C = (A cdot C) B - (B cdot C) A . A identidade é:
Vamos usar essa identidade para expandir o lado esquerdo da nossa expressão original.

Passo 3

Vamos definir:
A = a times b
B = c times d
Então, a expressão que queremos demonstrar fica:
A times B = (A cdot d) c - (A cdot c) d

Passo 4

Agora, aplicando a identidade do produto vetorial duplo que mencionamos no Passo 2, temos:
A times B = (A cdot d) c - (A cdot c) d
Isso exatamente corresponde ao lado direito da identidade que queremos demonstrar.

Passo 5

Portanto, ao aplicar a identidade do produto vetorial duplo diretamente à expressão original, conseguimos transformar o lado esquerdo na forma do lado direito. Isso confirma que a identidade está correta.

Resposta

A identidade vetorial está demonstrada corretamente:
(a times b) times (c times d) = (a times b cdot d) c - (a times b cdot c) d

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