Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade vetorial envolvendo produtos de vetores. Estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade do produto vetorial triplo e algumas propriedades básicas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que precisamos provar:
Nossa meta é simplificar o lado esquerdo para chegar ao lado direito usando identidades vetoriais conhecidas.
Passo 3
Vamos começar aplicando a identidade do produto vetorial triplo, que é:
Aqui, vamos aplicar essa identidade ao primeiro produto triplo dentro dos colchetes.
Passo 4
Aplicando a identidade do produto vetorial triplo a
, temos:
Isso simplifica a expressão dentro dos colchetes.
Passo 5
Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
Vamos distribuir o produto vetorial em relação à soma de vetores.
Passo 6
Distribuindo o produto vetorial:
Isso separa a expressão em dois termos que vamos tratar individualmente.
Passo 7
Vamos analisar cada termo separadamente. No primeiro termo:
Aqui, temos o produto de um vetor
por ele mesmo, mas multiplicado por um escalar
. Lembrando que o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero:
Portanto, o primeiro termo é zero.
Passo 8
O segundo termo é:
Aqui, podemos fatorar o escalar
para fora do produto vetorial:
Mas como o produto vetorial é anti-comutativo (
), podemos reescrever isso como:
Resposta
Portanto, demonstramos que: