Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
a times[a times(a times b)]=(a cdot a)(b times a),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade vetorial envolvendo produtos de vetores. Estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade do produto vetorial triplo e algumas propriedades básicas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que precisamos provar:
a times [a times (a times b)] = (a cdot a)(b times a)
Nossa meta é simplificar o lado esquerdo para chegar ao lado direito usando identidades vetoriais conhecidas.

Passo 3

Vamos começar aplicando a identidade do produto vetorial triplo, que é:
u times (v times w) = v (u cdot w) - w (u cdot v)
Aqui, vamos aplicar essa identidade ao primeiro produto triplo dentro dos colchetes.

Passo 4

Aplicando a identidade do produto vetorial triplo a a times (a times b) = a (a cdot b) - b (a cdot a) , temos:
Isso simplifica a expressão dentro dos colchetes.

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
a times [a (a cdot b) - b (a cdot a)]
Vamos distribuir o produto vetorial em relação à soma de vetores.

Passo 6

Distribuindo o produto vetorial:
a times [a (a cdot b)] - a times [b (a cdot a)]
Isso separa a expressão em dois termos que vamos tratar individualmente.

Passo 7

Vamos analisar cada termo separadamente. No primeiro termo:
a times [a (a cdot b)]
Aqui, temos o produto de um vetor a times a = 0 por ele mesmo, mas multiplicado por um escalar . Lembrando que o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero:
Portanto, o primeiro termo é zero.

Passo 8

O segundo termo é:
-a times [b (a cdot a)]
Aqui, podemos fatorar o escalar - (a cdot a) (a times b) para fora do produto vetorial:
(a cdot a) (b times a)
Mas como o produto vetorial é anti-comutativo ( ), podemos reescrever isso como:

Resposta

Portanto, demonstramos que:
a times [a times (a times b)] = (a cdot a)(b times a)

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