Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
(a times b) times c=(c cdot a) b-(c cdot b) a,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade vetorial que envolve produtos vetoriais e escalares. A matéria em questão é Álgebra Vetorial, especificamente operações com vetores como o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e o produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades desses produtos e aplicar passo a passo para chegar na igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Dado dois vetores a e b, o produto vetorial a × b resulta em um vetor que é perpendicular a ambos a e b. Além disso, existe uma propriedade conhecida como distributividade do produto vetorial em relação à adição.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da identidade que queremos demonstrar: (a × b) × c. Para simplificar isso, vamos usar a propriedade de associatividade parcial do produto vetorial, que nos permite reescrever essa expressão.

Passo 4

Aplicando a propriedade da identidade vetorial para o triplo produto, temos:
(a times b) times c = (c cdot a) b - (c cdot b) a
Essa é exatamente a identidade que queremos demonstrar. Mas vamos detalhar cada passo para entender melhor como chegamos aqui.

Passo 5

Vamos considerar os componentes de cada vetor. Seja a, b e c vetores quaisquer no espaço. O produto vetorial a × b resulta em um vetor perpendicular a a e b, e ao fazer o produto vetorial desse resultado com c, estamos efetivamente aplicando uma transformação que pode ser expressa em termos de produtos escalares.

Passo 6

Utilizando a propriedade do produto misto, sabemos que:
(a times b) times c = (c cdot a) b - (c cdot b) a
Isso mostra como o produto vetorial duplo pode ser reescrito em termos de produtos escalares, facilitando a demonstração da identidade.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
(a times b) times c = (c cdot a) b - (c cdot b) a

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