Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade vetorial que envolve produtos vetoriais e escalares. A matéria em questão é Álgebra Vetorial, especificamente operações com vetores como o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e o produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades desses produtos e aplicar passo a passo para chegar na igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Dado dois vetores a e b, o produto vetorial a × b resulta em um vetor que é perpendicular a ambos a e b. Além disso, existe uma propriedade conhecida como distributividade do produto vetorial em relação à adição.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da identidade que queremos demonstrar: (a × b) × c. Para simplificar isso, vamos usar a propriedade de associatividade parcial do produto vetorial, que nos permite reescrever essa expressão.
Passo 4
Aplicando a propriedade da identidade vetorial para o triplo produto, temos:
Essa é exatamente a identidade que queremos demonstrar. Mas vamos detalhar cada passo para entender melhor como chegamos aqui.
Passo 5
Vamos considerar os componentes de cada vetor. Seja a, b e c vetores quaisquer no espaço. O produto vetorial a × b resulta em um vetor perpendicular a a e b, e ao fazer o produto vetorial desse resultado com c, estamos efetivamente aplicando uma transformação que pode ser expressa em termos de produtos escalares.
Passo 6
Utilizando a propriedade do produto misto, sabemos que:
Isso mostra como o produto vetorial duplo pode ser reescrito em termos de produtos escalares, facilitando a demonstração da identidade.
Resposta
Portanto, demonstramos que: