Calcule [u, v, w], sabendo que |u|=1,|v|=2,|w|=3, e que u, v, w é uma base negativa, sendo u, v, w dois a dois ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente precisa calcular o determinante . A matéria envolvida aqui é o produto escalar e vetorial, além de propriedades de bases no espaço vetorial. Para isso, vamos usar as normas dos vetores e a informação de que a base é negativa e que os vetores são dois a dois ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores u cdot v = 0, u cdot w = 0, v cdot w = 0 , e são dois a dois ortogonais. Isso quer dizer que o produto escalar entre qualquer par deles é zero:
Essa propriedade simplifica bastante nossos cálculos porque elimina termos que poderiam complicar a expressão do determinante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante [ u, v, w ] = pm |u| cdot |v| cdot |w| . Quando temos três vetores ortogonais, o determinante é simplesmente o produto das normas dos vetores, ajustado pelo sinal da orientação da base. A fórmula fica assim:
O sinal depende se a base é positiva ou negativa. No nosso caso, a base é negativa, então o sinal será negativo.

Passo 4

Vamos substituir os valores das normas na fórmula. Sabemos que:
|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3
Então, o determinante fica:
[ u, v, w ] = - (1) cdot (2) cdot (3) = -6

Resposta

[ u, v, w ] = -6

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