Calcule
, sabendo que
, e que
é uma base negativa, sendo
dois a dois ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente precisa calcular o determinante
. A matéria envolvida aqui é o produto escalar e vetorial, além de propriedades de bases no espaço vetorial. Para isso, vamos usar as normas dos vetores e a informação de que a base é negativa e que os vetores são dois a dois ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores
,
e
são dois a dois ortogonais. Isso quer dizer que o produto escalar entre qualquer par deles é zero:
Essa propriedade simplifica bastante nossos cálculos porque elimina termos que poderiam complicar a expressão do determinante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o determinante
. Quando temos três vetores ortogonais, o determinante é simplesmente o produto das normas dos vetores, ajustado pelo sinal da orientação da base. A fórmula fica assim:
O sinal depende se a base é positiva ou negativa. No nosso caso, a base é negativa, então o sinal será negativo.
Passo 4
Vamos substituir os valores das normas na fórmula. Sabemos que:
Então, o determinante fica: