Sejam A B=(1,-1,1), A C=(-1,3,2) e A D=(2,1,0). Pede-se:
o volume do paralelepípedo A B C D e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores no espaço tridimensional. Precisamos calcular o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores AB, AC e AD, e também encontrar a distância do ponto D ao plano determinado pelos pontos A, B e C. Para isso, vamos usar o produto misto para o volume e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o volume do paralelepípedo, usamos o produto misto dos três vetores. O produto misto é calculado como o determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores:
V = |AB cdot (AC times AD)|
Vamos montar a matriz com os vetores:
1 & -1 & 1 -1 & 3 & 2 2 & 1 & 0
Calculando o determinante:
V = |1 cdot (3 cdot 0 - 2 cdot 1) - (-1) cdot (-1 cdot 0 - 2 cdot 2) + 1 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot 2)|
V = |1 cdot (-2) - (-1) cdot (-4) + 1 cdot (-7)|
V = |-2 - 4 -7|
V = |-13| = 13

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância do ponto D ao plano formado por A, B e C. Primeiro, precisamos da equação do plano.
Para isso, encontramos o vetor normal ao plano usando o produto vetorial de AB e AC:
n = AB times AC
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 1 & -1 & 1 -1 & 3 & 2 = i( -1 cdot 2 - 1 cdot 3 ) - j(1 cdot 2 - 1 cdot (-1)) + k(1 cdot 3 - (-1) cdot (-1))
n = i(-2 -3) - j(2 +1) + k(3 -1)
n = -5i -3j +2k
A equação do plano é dada por:
-5(x - xA) -3(y - yA) +2(z - zA) = 0
Como o ponto A é (0,0,0) (supondo que A seja a origem), a equação simplifica para:
-5x -3y +2z = 0
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) ao plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Substituindo D(2,1,0) na equação do plano:
d = |-5 cdot 2 -3 cdot 1 +2 cdot 0|raiz(-5)^2 + (-3)^2 +2^2
d = |-10 -3|raiz25 +9 +4
d = 13raiz38 approx 2.11

Resposta

O volume do paralelepípedo ABCD é 13 unidades cúbicas e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C é aproximadamente 2,11 unidades.

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