- Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo
é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(g) Substitua a relação encontrada no item (e) na expressão da energia mecânica total do sistema massa-mola do item (d). Qual é a forma desta expressão em relação ao referencial
? Derive ambos os membros desta expressão em relação ao tempo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) substituir a relação obtida no item (e) dentro da expressão da energia mecânica total dada no item (d) e escrever a forma dessa energia em relação ao referencial
; (ii) derivar ambos os membros dessa expressão em relação ao tempo.
Informações que eu peguei dos itens anteriores (conforme pedido do enunciado):
- Da expressão da energia mecânica total do item (d) (peguei esta expressão do item (d)): a energia total do sistema massa-mola, no referencial
(eixo apontando para baixo, origem no teto), é
onde, tomando a energia potencial gravitacional com a convenção natural para
positivo para baixo, a energia potencial gravitacional é
e a energia elástica da mola é
. Assim, explicitamente (peguei todos estes termos do item (d)):
- Da relação do item (e) (peguei esta relação do item (e)): a coordenada relativa ao referencial
é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio estático da massa. Logo a relação entre as coordenadas é
Aqui
é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (positivo para baixo, mesmo sinal de
). O referencial
tem origem no ponto de equilíbrio e coordenada
.
A tarefa agora é fazer a substituição
na expressão de
e escrever
em termos de
e
(forma em
), e depois derivar ambos os membros em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro observe uma propriedade muito útil: como
com
constante, as velocidades satisfazem
Isto simplifica a energia cinética, que fica
.
Agora substituo
em cada termo da energia potencial. Vou calcular termos separadamente e mostrar a álgebra passo a passo.
- Termo gravitacional:
- Termo elástico:
Mas
, pois
. Então
Expansão do quadrado:
Multiplicando
:
Passo 3
Agora somo todos os termos da energia usando as expressões obtidas acima:
Note que os termos lineares em
,
e
, cancelam exatamente. Isso acontece porque
foi escolhido como a posição de equilíbrio onde a força elástica compensa o peso; algebraicamente é o cancelamento entre o termo linear da mola e o termo gravitacional.
Portanto restam apenas termos quadráticos em
e
mais constantes:
onde a constante
(independente de
e do tempo) é
Podemos simplificar
substituindo
:
Portanto a forma final da energia no referencial
(origem no equilíbrio, coordenada
) é
Na prática, para estudar a dinâmica relativa ao equilíbrio, os termos constantes podem ser desprezados (só deslocam a referência zero da energia); a energia dinâmica útil é
Passo 4
Agora derivo ambos os membros dessa expressão em relação ao tempo. Tomando a forma reduzida (sem a constante, que desaparece na derivada),
aplico a regra da cadeia e a derivada de potência:
- Derivada do termo cinético:
porque
.
- Derivada do termo potencial elástico:
pois
.
Somando,
A derivada da constante
é zero, portanto
Passo 5
Como o sistema massa-mola isolado está sujeito apenas a forças conservativas (peso e força elástica), a energia total
é conservada; portanto
. Assim obtemos
Dessa igualdade, para movimentos gerais onde
não é identicamente nula, segue a equação diferencial de movimento
que é a equação harmônica simples com frequência angular
Comentário prático: a condição
em instantes isolados não força a anulação do parêntese; o resultado físico geral é a equação
.