1. Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo O z é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(g) Substitua a relação encontrada no item (e) na expressão da energia mecânica total do sistema massa-mola do item (d). Qual é a forma desta expressão em relação ao referencial \mathrm{S}^{\prime} ? Derive ambos os membros desta expressão em relação ao tempo

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) substituir a relação obtida no item (e) dentro da expressão da energia mecânica total dada no item (d) e escrever a forma dessa energia em relação ao referencial S'; (ii) derivar ambos os membros dessa expressão em relação ao tempo.
Informações que eu peguei dos itens anteriores (conforme pedido do enunciado):
  • Da expressão da energia mecânica total do item (d) (peguei esta expressão do item (d)): a energia total do sistema massa-mola, no referencial S (eixo Oz apontando para baixo, origem no teto), é
E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot z^{2} \;+\; U_g(z)\;+\; U_s(z),
onde, tomando a energia potencial gravitacional com a convenção natural para z positivo para baixo, a energia potencial gravitacional é U_g(z) = -\,m g z e a energia elástica da mola é U_s(z)=\tfrac{1}{2}k\bigl(z-l_{0}\bigr)^{2}. Assim, explicitamente (peguei todos estes termos do item (d)):
E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot z^{2} \;-\; m g z \;+\; \tfrac{1}{2}k\bigl(z-l_{0}\bigr)^{2}.
  • Da relação do item (e) (peguei esta relação do item (e)): a coordenada relativa ao referencial S' é o deslocamento x medido a partir da posição de equilíbrio estático da massa. Logo a relação entre as coordenadas é
z \;=\; z_{\mathrm{eq}} \;+\; x, \qquad\text{com}\qquad z_{\mathrm{eq}} \;=\; l_{0} \;+\; \dfrac{m g}{k}.
Aqui x é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (positivo para baixo, mesmo sinal de z). O referencial S' tem origem no ponto de equilíbrio e coordenada x.
A tarefa agora é fazer a substituição z=z_{\mathrm{eq}}+x na expressão de E e escrever E em termos de x e \dot x (forma em S'), e depois derivar ambos os membros em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro observe uma propriedade muito útil: como z=z_{\mathrm{eq}}+x com z_{\mathrm{eq}} constante, as velocidades satisfazem
\dot z \;=\; \dot x.
Isto simplifica a energia cinética, que fica \tfrac{1}{2}m\dot x^{2}.
Agora substituo z=z_{\mathrm{eq}}+x em cada termo da energia potencial. Vou calcular termos separadamente e mostrar a álgebra passo a passo.
  1. Termo gravitacional:
- m g z \;=\; - m g (z_{\mathrm{eq}} + x) \;=\; - m g z_{\mathrm{eq}} \;-\; m g x.
  1. Termo elástico:
\tfrac{1}{2}k\bigl(z-l_{0}\bigr)^{2} \;=\; \tfrac{1}{2}k\bigl(z_{\mathrm{eq}}+x-l_{0}\bigr)^{2}.
Mas z_{\mathrm{eq}}-l_{0} = \dfrac{m g}{k}, pois z_{\mathrm{eq}} = l_{0} + \dfrac{m g}{k}. Então
\tfrac{1}{2}k\bigl(z-l_{0}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}k\Bigl(\dfrac{m g}{k} + x\Bigr)^{2}.
Expansão do quadrado:
\tfrac{1}{2}k\Bigl(\dfrac{m g}{k} + x\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}k\Bigl(\dfrac{m^{2}g^{2}}{k^{2}} + 2\dfrac{m g}{k}x + x^{2}\Bigr).
Multiplicando k:
\tfrac{1}{2}k\bigl(z-l_{0}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k} \;+\; m g x \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2}.

Passo 3

Agora somo todos os termos da energia usando as expressões obtidas acima:
E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \bigl(- m g z_{\mathrm{eq}} - m g x\bigr) \;+\; \Bigl(\tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k} + m g x + \tfrac{1}{2}k x^{2}\Bigr).
Note que os termos lineares em x, -m g x e +m g x, cancelam exatamente. Isso acontece porque z_{\mathrm{eq}} foi escolhido como a posição de equilíbrio onde a força elástica compensa o peso; algebraicamente é o cancelamento entre o termo linear da mola e o termo gravitacional.
Portanto restam apenas termos quadráticos em \dot x e x mais constantes:
E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2} \;+\; E_{0},
onde a constante E_{0} (independente de x e do tempo) é
E_{0} = - m g z_{\mathrm{eq}} + \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k}.
Podemos simplificar E_{0} substituindo z_{\mathrm{eq}}=l_{0}+\dfrac{m g}{k}:
E_{0} = - m g\Bigl(l_{0}+\dfrac{m g}{k}\Bigr) + \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k} = - m g l_{0} - \dfrac{m^{2}g^{2}}{k} + \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k} = - m g l_{0} - \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k}.
Portanto a forma final da energia no referencial S' (origem no equilíbrio, coordenada x) é
E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2} \;-\; m g l_{0} \;-\; \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k}.
Na prática, para estudar a dinâmica relativa ao equilíbrio, os termos constantes podem ser desprezados (só deslocam a referência zero da energia); a energia dinâmica útil é
E_{\text{din}} \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2}.

Passo 4

Agora derivo ambos os membros dessa expressão em relação ao tempo. Tomando a forma reduzida (sem a constante, que desaparece na derivada),
E_{\text{din}}(t) \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2}(t) \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2}(t),
aplico a regra da cadeia e a derivada de potência:
  • Derivada do termo cinético:
\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot x^{2}\right) = m\dot x\,\ddot x,
porque \dfrac{d}{dt}\bigl(\dot x^{2}\bigr)=2\dot x\,\ddot x.
  • Derivada do termo potencial elástico:
\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}k x^{2}\right) = k x\,\dot x,
pois \dfrac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\,\dot x.
Somando,
\dfrac{dE_{\text{din}}}{dt} = m\dot x\,\ddot x \;+\; k x\,\dot x = \dot x\bigl(m\ddot x + k x\bigr).
A derivada da constante E_{0} é zero, portanto
\dfrac{dE}{dt} \;=\; \dot x\bigl(m\ddot x + k x\bigr).

Passo 5

Como o sistema massa-mola isolado está sujeito apenas a forças conservativas (peso e força elástica), a energia total E é conservada; portanto \dfrac{dE}{dt}=0. Assim obtemos
\dot x\bigl(m\ddot x + k x\bigr) \;=\; 0.
Dessa igualdade, para movimentos gerais onde \dot x não é identicamente nula, segue a equação diferencial de movimento
m\ddot x + k x \;=\; 0,
que é a equação harmônica simples com frequência angular
\omega \;=\; \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Comentário prático: a condição \dot x=0 em instantes isolados não força a anulação do parêntese; o resultado físico geral é a equação m\ddot x + k x=0.

Resposta

E \;=\; \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \tfrac{1}{2}k x^{2} \;-\; m g l_{0} \;-\; \tfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}g^{2}}{k}.
\dfrac{dE}{dt} \;=\; \dot x\bigl(m\ddot x + k x\bigr)\;=\;0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot x + k x \;=\; 0.

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