1. Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo O z é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(e) Consideremos agora um novo referencial \mathrm{S}^{\prime} constituído por um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo O z é também orientado verticalmente para baixo, porém a origem \mathrm{O}^{\prime} se encontra na posição de equilíbrio estável da partícula. Qual é a relação entre as posições z(t) e z^{\prime}(t) da partícula nos dois referenciais S e \mathrm{S}^{\prime} respectivamente?
(f) Substitua a relação encontrada no item (e) na equação diferencial do item (b), e obtenha a nova equação diferencial em relação ao referencial \mathrm{S}^{\prime}. Qual é a forma desta nova equação? O que ocorreu com o peso da partícula?

Passo 1

O enunciado dá: uma partícula com massa m pendurada por uma mola de constante k e comprimento relaxado l_{0}. O referencial S tem origem O no teto e eixo O z apontando para baixo; a posição da partícula nesse referencial é z(t). Pede-se:
  • (e) a relação entre z(t) e z'(t), onde S' tem origem O' colocada na posição de equilíbrio estável da partícula e eixo também para baixo;
  • (f) substituir essa relação na equação diferencial obtida no item (b) e encontrar a nova equação no referencial S', e dizer o que aconteceu com o peso.
A equação diferencial do item (b) (Newton aplicando forças no eixo vertical para baixo) é:
m\ddot{z}=mg-k\bigl(z-l_{0}\bigr),
onde \ddot{z} é a aceleração no referencial S, mg é o peso (para baixo) e -k(z-l_{0}) é a força elástica (para cima quando z>l_{0}).

Passo 2

Definir a posição de equilíbrio \,z_{\mathrm{eq}} e calculá-la. Equilíbrio estático significa que a aceleração e velocidade são zero; inserir \ddot{z}=0 na equação do passo anterior e resolver para z:
0 = mg - k\bigl(z_{\mathrm{eq}}-l_{0}\bigr).
Isolando z_{\mathrm{eq}}:
k\bigl(z_{\mathrm{eq}}-l_{0}\bigr)=mg \quad\Rightarrow\quad z_{\mathrm{eq}}=l_{0}+\frac{mg}{k}.
Comentário didático: isso vem do equilíbrio de forças (peso para baixo igual à força elástica para cima). Note que \frac{mg}{k} é a extensão estática adicional causada pelo peso.

Passo 3

Escrever a relação entre coordenadas dos dois referenciais. Pelo enunciado o referencial S' tem origem em z_{\mathrm{eq}} e o eixo continua apontando para baixo; portanto a posição medida em S é a soma da posição da origem de S' mais a posição relativa medida em S'. Logo:
z(t)=z_{\mathrm{eq}}+z'(t).
Equivalentemente:
z'(t)=z(t)-z_{\mathrm{eq}}.
Observação importante: z_{\mathrm{eq}} é constante, então as derivadas temporais satisfazem
\dot{z}(t)=\dot{z}'(t),\qquad \ddot{z}(t)=\ddot{z}'(t).
Isso é útil porque um deslocamento constante não altera velocidades e acelerações.

Passo 4

Substituir z(t)=z_{\mathrm{eq}}+z'(t) na equação diferencial original e simplificar passo a passo, usando que z_{\mathrm{eq}} satisfaz a condição de equilíbrio encontrada no Passo 2.
Começando pela força resultante do lado direito:
mg-k\bigl(z-l_{0}\bigr) =mg-k\bigl(z_{\mathrm{eq}}+z'-l_{0}\bigr) =mg-k\bigl(z_{\mathrm{eq}}-l_{0}\bigr)-kz'.
Mas pelo Passo 2 \,k\bigl(z_{\mathrm{eq}}-l_{0}\bigr)=mg. Assim o primeiro parêntese cancela:
mg-k\bigl(z_{\mathrm{eq}}-l_{0}\bigr)=0,
restando apenas
mg-k\bigl(z-l_{0}\bigr)=-kz'.
Agora a equação de movimento m\ddot{z}=mg-k(z-l_{0}), usando \ddot{z}=\ddot{z}', fica
m\ddot{z}'=-kz'.
Colocando na forma padrão:
\ddot{z}'+\frac{k}{m}z'=0.
Esta é a equação diferencial de um oscilador harmônico simples linear e homogêneo. A frequência angular associada é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 5

Interpretação física e comentário sobre o peso. A nova equação mostra que as oscilações em torno da posição de equilíbrio O' obedecem a um movimento harmônico simples sem termo constante de força gravitacional: o termo mg desapareceu da equação porque foi “absorvido” na definição do novo referencial (a origem foi colocada exatamente onde peso e força elástica se equilibram). Em outras palavras, o peso determina apenas a posição de equilíbrio z_{\mathrm{eq}}, e as pequenas oscilações ao redor dessa posição são governadas apenas pela rigidez da mola e pela massa. A solução geral dessa equação é
z'(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com \omega=\sqrt{k/m} e constantes A,B determinadas pelas condições iniciais expressas em S'.

Resposta

(e) \;z(t)=l_{0}+\dfrac{mg}{k}+z'(t)\quad (ou \;z'(t)=z(t)-\bigl(l_{0}+\dfrac{mg}{k}\bigr)).
(f) \;m\ddot{z}'+kz'=0, isto é \;\ddot{z}'+\dfrac{k}{m}z'=0. O peso mg desapareceu da equação dinâmica: foi incorporado na posição de equilíbrio z_{\mathrm{eq}}=l_{0}+\dfrac{mg}{k}.

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