- Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo
é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(e) Consideremos agora um novo referencial
constituído por um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo
é também orientado verticalmente para baixo, porém a origem
se encontra na posição de equilíbrio estável da partícula. Qual é a relação entre as posições
e
da partícula nos dois referenciais S e
respectivamente?
(f) Substitua a relação encontrada no item (e) na equação diferencial do item (b), e obtenha a nova equação diferencial em relação ao referencial
. Qual é a forma desta nova equação? O que ocorreu com o peso da partícula?
(f) Substitua a relação encontrada no item (e) na equação diferencial do item (b), e obtenha a nova equação diferencial em relação ao referencial
Passo 1
O enunciado dá: uma partícula com massa
pendurada por uma mola de constante
e comprimento relaxado
. O referencial
tem origem
no teto e eixo
apontando para baixo; a posição da partícula nesse referencial é
. Pede-se:
- (e) a relação entre
e , onde tem origem colocada na posição de equilíbrio estável da partícula e eixo também para baixo; - (f) substituir essa relação na equação diferencial obtida no item (b) e encontrar a nova equação no referencial
, e dizer o que aconteceu com o peso.
A equação diferencial do item (b) (Newton aplicando forças no eixo vertical para baixo) é:
onde
é a aceleração no referencial
,
é o peso (para baixo) e
é a força elástica (para cima quando
).
Passo 2
Definir a posição de equilíbrio
e calculá-la. Equilíbrio estático significa que a aceleração e velocidade são zero; inserir
na equação do passo anterior e resolver para
:
Isolando
:
Comentário didático: isso vem do equilíbrio de forças (peso para baixo igual à força elástica para cima). Note que
é a extensão estática adicional causada pelo peso.
Passo 3
Escrever a relação entre coordenadas dos dois referenciais. Pelo enunciado o referencial
tem origem em
e o eixo continua apontando para baixo; portanto a posição medida em
é a soma da posição da origem de
mais a posição relativa medida em
. Logo:
Equivalentemente:
Observação importante:
é constante, então as derivadas temporais satisfazem
Isso é útil porque um deslocamento constante não altera velocidades e acelerações.
Passo 4
Substituir
na equação diferencial original e simplificar passo a passo, usando que
satisfaz a condição de equilíbrio encontrada no Passo 2.
Começando pela força resultante do lado direito:
Mas pelo Passo 2
. Assim o primeiro parêntese cancela:
restando apenas
Agora a equação de movimento
, usando
, fica
Colocando na forma padrão:
Esta é a equação diferencial de um oscilador harmônico simples linear e homogêneo. A frequência angular associada é
Passo 5
Interpretação física e comentário sobre o peso. A nova equação mostra que as oscilações em torno da posição de equilíbrio
obedecem a um movimento harmônico simples sem termo constante de força gravitacional: o termo
desapareceu da equação porque foi “absorvido” na definição do novo referencial (a origem foi colocada exatamente onde peso e força elástica se equilibram). Em outras palavras, o peso determina apenas a posição de equilíbrio
, e as pequenas oscilações ao redor dessa posição são governadas apenas pela rigidez da mola e pela massa. A solução geral dessa equação é
com
e constantes
determinadas pelas condições iniciais expressas em
.
Resposta
(e)
(ou
).
(f) , isto é
. O peso
desapareceu da equação dinâmica: foi incorporado na posição de equilíbrio
.
(f)