1^{\text {a }} Questão (valor 3,0 pontos):
Uma amostra de 6 (seis) corpos de prova foi utilizada para estimar a tensão de escoamento, em MPa, de um material desconhecido.
Essa amostra apresentou média \mathbf{3 6 , 2} \mathbf{~ M P a} e desvio-padrão \mathbf{4 , 6 ~ M P a}.
Há outros materiais que têm tanto valores mais elevados como inferiores de tensão de escoamento.
a) (2,0) Determine a região crítica para o nível de significância de \mathbf{1 0 \%} da tensão de escoamento deste material.
b) (1,0) \mathrm{O} que você poderia afirmar quanto a um corpo de prova com tensão de escoamento de \mathbf{4 2 , 5 ~ M P a} ser deste material, com nível de confiança de \mathbf{9 0 \%} ?
Passo 1
O enunciado dá:
tamanho da amostra n=6,
média amostral \bar{x}=36,2\\ \text{MPa},
desvio-padrão amostral s=4,6\\ \text{MPa}.
Pede:
a) determinar a região crítica (ou seja, a condição de rejeição) para o parâmetro média da tensão de escoamento com nível de significância \alpha=10\%;
b) dizer, com nível de confiança 90\%, o que se pode afirmar sobre um corpo de prova com tensão de escoamento 42,5\\ \text{MPa} ser desse material.
Passo 2
Entendimento do procedimento (explicação didática):
Quando a população é normal (ou aproximável) e o desvio-padrão populacional é desconhecido (aqui temos apenas s), para inferir sobre a média populacional \mu usa-se o intervalo de confiança baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade.
Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é dado por
t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área de cauda superior é \alpha/2.
A relação entre intervalo de confiança e região crítica: para teste bilateral ao nível \alpha, valores de \mu que caem fora do intervalo de confiança de nível 1-\alpha são rejeitados. Portanto a “região crítica” para \mu (ao nível \alpha) é o conjunto de \mu para os quais
Responder a parte (b) (interpretação prática e conclusão):
Um corpo de prova com tensão de escoamento 42,5\\ \text{MPa} tem valor maior que o limite superior do intervalo de confiança de 90\% (que é aproximadamente 40,0\\ \text{MPa}).
Logo, com nível de confiança de 90\% (equivalente a nível de significância 10\%), podemos dizer que 42,5\\ \text{MPa} não é compatível com a média de escoamento estimada para este material; isto é, rejeita-se a hipótese de que esse corpo de prova pertença à mesma população do material estudado (ao nível de 10\%).
Em termos simples: é improvável (ao nível de confiança 90\%) que o corpo de prova com 42,5\\ \text{MPa} seja deste material.
Resposta
(a) Região crítica (nível de significância 10\%): \mu<32,414\\ \text{MPa} ou \mu>39,986\\ \text{MPa} (aprox. \mu<32,4\\ \text{MPa} ou \mu>40,0\\ \text{MPa}).\n
(b) Como 42,5\\ \text{MPa}>40,0\\ \text{MPa}, ao nível de confiança 90\% conclui-se que esse corpo de prova provavelmente não é deste material (rejeita‑se a compatibilidade).