1^{\text {a }} Questão (valor 3,0 pontos):
Uma amostra de 6 (seis) corpos de prova foi utilizada para estimar a tensão de escoamento, em MPa, de um material desconhecido.
Essa amostra apresentou média \mathbf{3 6 , 2} \mathbf{~ M P a} e desvio-padrão \mathbf{4 , 6 ~ M P a}.
Há outros materiais que têm tanto valores mais elevados como inferiores de tensão de escoamento.
a) (2,0) Determine a região crítica para o nível de significância de \mathbf{1 0 \%} da tensão de escoamento deste material.
b) (1,0) \mathrm{O} que você poderia afirmar quanto a um corpo de prova com tensão de escoamento de \mathbf{4 2 , 5 ~ M P a} ser deste material, com nível de confiança de \mathbf{9 0 \%} ?

Passo 1

O enunciado dá:
  • tamanho da amostra n=6,
  • média amostral \bar{x}=36,2\\ \text{MPa},
  • desvio-padrão amostral s=4,6\\ \text{MPa}.
    Pede:
    a) determinar a região crítica (ou seja, a condição de rejeição) para o parâmetro média da tensão de escoamento com nível de significância \alpha=10\%;
    b) dizer, com nível de confiança 90\%, o que se pode afirmar sobre um corpo de prova com tensão de escoamento 42,5\\ \text{MPa} ser desse material.

Passo 2

Entendimento do procedimento (explicação didática):
  • Quando a população é normal (ou aproximável) e o desvio-padrão populacional é desconhecido (aqui temos apenas s), para inferir sobre a média populacional \mu usa-se o intervalo de confiança baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • s é o desvio-padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área de cauda superior é \alpha/2.
  • A relação entre intervalo de confiança e região crítica: para teste bilateral ao nível \alpha, valores de \mu que caem fora do intervalo de confiança de nível 1-\alpha são rejeitados. Portanto a “região crítica” para \mu (ao nível \alpha) é o conjunto de \mu para os quais
\left|\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\alpha/2,\,n-1}.

Passo 3

Escolha dos números e do quantil t:
  • Aqui n=6 tem n-1=5 graus de liberdade.
  • O nível de significância pedido é \alpha=0,10, então para um intervalo bilateral usamos \alpha/2=0,05.
  • O quantil correspondente é t_{0,05,\,5}. Pelas tabelas de Student ou calculadora estatística:
t_{0,05,\,5}=2,015.

Passo 4

Calcular o erro padrão e a margem de erro:
  • erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4,6}{\sqrt{6}}.
Calculemos \sqrt{6}\approx 2,4494897, então
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{4,6}{2,4494897}\approx 1,878.
  • margem de erro:
E=t_{0,05,5}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,015\cdot 1,878\approx 3,786.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 90\% e escrever a região crítica:
  • intervalo de confiança de 90\% para \mu:
\bar{x}\pm E \quad\Rightarrow\quad 36,2\pm 3,786.
Portanto
\text{IC}_{90\%}(\mu)\approx [36,2-3,786,\;36,2+3,786]=[32,414,\;39,986].
Arredondando a uma casa decimal (prático em MPa):
\text{IC}_{90\%}(\mu)\approx[32,4\\ \text{MPa},\;40,0\\ \text{MPa}].
  • A região crítica (valores de \mu rejeitados ao nível \alpha=0,10) é
\mu<32,414\\ \text{MPa}\quad\text{ou}\quad \mu>39,986\\ \text{MPa}.
Em forma arredondada:
\mu<32,4\\ \text{MPa}\quad\text{ou}\quad \mu>40,0\\ \text{MPa}.

Passo 6

Responder a parte (b) (interpretação prática e conclusão):
  • Um corpo de prova com tensão de escoamento 42,5\\ \text{MPa} tem valor maior que o limite superior do intervalo de confiança de 90\% (que é aproximadamente 40,0\\ \text{MPa}).
  • Logo, com nível de confiança de 90\% (equivalente a nível de significância 10\%), podemos dizer que 42,5\\ \text{MPa} não é compatível com a média de escoamento estimada para este material; isto é, rejeita-se a hipótese de que esse corpo de prova pertença à mesma população do material estudado (ao nível de 10\%).
  • Em termos simples: é improvável (ao nível de confiança 90\%) que o corpo de prova com 42,5\\ \text{MPa} seja deste material.

Resposta

(a) Região crítica (nível de significância 10\%):
\mu<32,414\\ \text{MPa} ou \mu>39,986\\ \text{MPa} (aprox. \mu<32,4\\ \text{MPa} ou \mu>40,0\\ \text{MPa}).\n
(b) Como 42,5\\ \text{MPa}>40,0\\ \text{MPa}, ao nível de confiança 90\% conclui-se que esse corpo de prova provavelmente não é deste material (rejeita‑se a compatibilidade).

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