Demonstre as seguintes propriedades:
dd t[f(t) cdot g(t)]=d fd t cdot g(t)+f(t) cdot d gd t

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra de derivação do produto escalar de duas funções vetoriais f(t) e g(t). Vamos usar (1) a definição do produto escalar em coordenadas e (2) a regra do produto para funções escalares.

Passo 2

Sejam
f(t) = l(f1(t),,f2(t),,dots,fn(t)r), g(t) = l(g1(t),,g2(t),,dots,gn(t)r)
Por definição,
f(t)cdotg(t) = sumi=1^n fi(t),gi(t)
Logo,
ddtl[f(t)cdotg(t)r] = ddt[sumi=1^n fi(t),gi(t)] = sumi=1^n ddtl[fi(t),gi(t)r]

Passo 3

Para cada termo escalar fi(t),gi(t) aplicamos a regra do produto:
ddtl[fi(t),gi(t)r] = fi'(t),gi(t) + fi(t),gi'(t)
Substituindo em cada soma,
ddtl[fcdotgr] = sumi=1^nl[fi'(t),gi(t) + fi(t),gi'(t)r]

Passo 4

Separando as somas,
sumi=1^n fi'(t),gi(t) = f'(t)cdotg(t), sumi=1^n fi(t),gi'(t) = f(t)cdotg'(t)
Portanto,
ddtl[f(t)cdotg(t)r] = f'(t)cdotg(t) + f(t)cdotg'(t)

Resposta

ddtl[f(t)cdotg(t)r] = dfdtcdotg(t) + f(t)cdotdgdt

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