Encontre o valor dos limites abaixo, caso exista:
lim x 1 x^2+2 x-3x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1x^2+2x-3x^2-1
Este é um problema de limites de funções racionais que podem apresentar forma indeterminada. Para resolver, vamos primeiro testar a substituição direta e, se resultar em 0/0, aplicar fatoração dos polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente em numerador e denominador, temos:
numerador = 1^2+2cdot1-3 = 1+2-3 = 0,
denominador = 1^2-1 = 1-1 = 0
Isso gera a forma indeterminada 0/0, então precisamos simplificar por fatoração.

Passo 3

Fatoremos o numerador e o denominador:
x^2+2x-3 = (x-1)(x+3),
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Para xneq1, podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo a expressão equivalente
x^2+2x-3x^2-1 = (x-1)(x+3)(x-1)(x+1) = x+3x+1

Passo 4

Agora calculamos o limite da forma simplificada:
limxto1x+3x+1 = 1+31+1 = 42 = 2

Resposta

2

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