Demonstre as seguintes propriedades:
dd t[h(t) f(t)]=d hd t f(t)+h(t) d fd t, onde h(t) é uma função escalar

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra do produto, ou seja, que a derivada do produto de duas funções h(t) e f(t) é dada por
ddtl[h(t),f(t)r] = dhdt,f(t)+h(t),dfdt
Vamos usar a definição de derivada via limite do quociente incremental.

Passo 2

Escrevemos a derivada do produto pela definição:
ddtl[h(t),f(t)r] = limDe<a tto0 h(t+De<a t),f(t+De<a t)-h(t),f(t)De<a t

Passo 3

Para manipular o numerador, somamos e subtraímos o termo h(t+De<a t),f(t):
h(t+De<a t),f(t+De<a t)-h(t),f(t) &=l[h(t+De<a t),f(t+De<a t) -h(t+De<a t),f(t)r] &+l[h(t+De<a t),f(t)-h(t),f(t)r]

Passo 4

Fatorando cada parte do numerador e dividindo por De<a t, obtemos
h(t+De<a t)l[f(t+De<a t)-f(t)r] +f(t)l[h(t+De<a t)-h(t)r]De<a t = h(t+De<a t),f(t+De<a t)-f(t)De<a t +f(t),h(t+De<a t)-h(t)De<a t
Logo,
ddtl[h(t),f(t)r] = limDe<a tto0 l[h(t+De<a t),f(t+De<a t)-f(t)De<a t +f(t),h(t+De<a t)-h(t)De<a tr]

Passo 5

Como h e f são diferenciáveis em t, temos:
limDe<a tto0h(t+De<a t)=h(t), limDe<a tto0f(t+De<a t)-f(t)De<a t=f'(t), limDe<a tto0h(t+De<a t)-h(t)De<a t=h'(t)
Pela linearidade do limite,
ddtl[h(t),f(t)r] = h(t),f'(t)+f(t),h'(t)

Resposta

ddtl[h(t),f(t)r] = dhdt,f(t) +h(t),dfdt

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