Demonstre as seguintes propriedades:
, onde
é uma função escalar
Passo 1
O enunciado pede para provar a regra do produto, ou seja, que a derivada do produto de duas funções
e
é dada por
Vamos usar a definição de derivada via limite do quociente incremental.
Passo 2
Escrevemos a derivada do produto pela definição:
Passo 3
Para manipular o numerador, somamos e subtraímos o termo
:
Passo 4
Fatorando cada parte do numerador e dividindo por
, obtemos
Logo,
Passo 5
Como
e
são diferenciáveis em
, temos:
Pela linearidade do limite,