Demonstre as seguintes propriedades:
dd t[f(t)+g(t)]=d fd t+d gd t

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para duas funções f e g diferenciáveis em torno de um ponto t, vale a propriedade da derivada da soma:
ddtl[f(t)+g(t)r] = dfdt(t) + dgdt(t)
O conteúdo principal aqui é a definição de derivada pelo limite e a propriedade de linearidade dos limites.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada da soma:
ddtl[f(t)+g(t)r] = limhto 0l[f(t+h)+g(t+h)r]-l[f(t)+g(t)r]h

Passo 3

No numerador, agrupamos os termos de f e de g:
l[f(t+h)+g(t+h)r]-l[f(t)+g(t)r] = l[f(t+h)-f(t)r] ;+;l[g(t+h)-g(t)r]
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l[f(t+h)+g(t+h)r]-l[f(t)+g(t)r]h = f(t+h)-f(t)h ;+;g(t+h)-g(t)h

Passo 4

Como f e g são diferenciáveis em t, os limites individuais existem. Pela propriedade de soma de limites, temos
limhto 0f(t+h)-f(t)h +limhto 0g(t+h)-g(t)h = dfdt(t) + dgdt(t)

Resposta

ddtl[f(t)+g(t)r] = dfdt(t) + dgdt(t)

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