Determine o vetor unitário tangente T(t) no ponto determinado pelo parâmetro t, dado:
f(t)=(t^3, 3 t, t^2+1,3 t+4), t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
f(t) = l(t^3,,3t,,t^2+1,,3t+4r)
e pede o vetor unitário tangente T(t) no ponto correspondente a t=1.
O conteúdo necessário é derivar f(t) para obter o vetor tangente f'(t) e depois normalizá-lo, isto é, dividir por sua norma.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Como
f(t) = l(x(t),,y(t),,z(t),,w(t)r)
temos
x'(t) = ddt(t^3)=3t^2, y'(t)=ddt(3t)=3, z'(t)=ddt(t^2+1)=2t, w'(t)=ddt(3t+4)=3
Portanto
f'(t)=l(3t^2,,3,,2t,,3r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
f'(1)=l(3cdot1^2,,3,,2cdot1,,3r)=(3,,3,,2,,3)

Passo 4

Calculamos a norma de f'(1):
|f'(1)| =raiz3^2+3^2+2^2+3^2 =raiz9+9+4+9 =raiz31

Passo 5

O vetor unitário tangente é
T(1)=f'(1)|f'(1)| =1raiz31,(3,,3,,2,,3)

Resposta

T(1)=l(tfrac3raiz31,,tfrac3raiz31,,tfrac2raiz31,,tfrac3raiz31r)

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