Demonstre as seguintes propriedades da norma.
|a| >= 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial real com a norma Euclidiana, vale
|a|>= 0
O que vamos usar é a definição da norma em termos do produto interno e a propriedade de que quadrados são não-negativos.

Passo 2

Pela definição de norma Euclidiana, para a=(a1,a2,dots,an) temos
|a| = raizlang<= a,arang<= = raizsumi=1^nai^2
Cada termo ai^2 é maior ou igual a zero, pois um número real ao quadrado nunca é negativo. Portanto, a soma
sumi=1^nai^2
é também um número não-negativo.

Passo 3

Como o radicando sumi=1^n ai^2 é >= 0, a raiz quadrada desse valor também é >= 0. Logo
|a| = raizsumi=1^nai^2 ;>=; 0

Resposta

|a|>= 0.

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