1.41 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
( ) Se a e b são paralelos, então a times b=0;
( ) Se a times b=0, então a ou b é igual a 0;
( ) Se a e b são perpendiculares, então a cdot b=0;
( ) Se a cdot b=0, então a ou b é igual a 0;
( ) Existem vetores não nulos a e b tais que a times b=0 e a cdot b=0;
( ) Se a, b, c é uma base ortonormal, então c=a times b;
( ) Se alpha é o plano gerado por a e b e beta é o plano gerado por c e d, então alpha e beta são paralelos se, e somente se, (a times b) times(c times d)=0;
( ) Os vetores a, b e c são coplanares se, e somente se, [a, b, c]=0;
( ) Se a, b, c é uma base ortonormal, então [a, b, c]= pm 1;
( ) Sempre que a e b forem colineares, ter-se-á |a+b|=|a|+|b|;
( ) Se a e b são vetores unitários, então a+b tem a direção da bissetriz do ângulo ( a, b );
( ) Se a e b são vetores do espaço, então |a pm b|^2=|a|^2 pm 2 a cdot b+|b|^2.
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se |a|=1, então o vetor Proja b tem comprimento |a cdot b|;
( ) Se u, v, w é uma base positiva, então u, w, v também o é;
( ) O conjunto u, v, v é uma base apenas quando u e v forem LI.
( ) Se u, v, w é uma base ortonormal e a é um vetor, então |a|^2=(a cdot u)^2+(a cdot v)^2+(a cdot w)^2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa no contexto de vetores em R^3, usando propriedades do produto vetorial, produto escalar, triplo escalar, bases (ortonormais, orientações) e normas. Vamos lembrar as definições e teoremas básicos:
  • atimesb=0 a e b são paralelos (ou um deles é nulo).
  • acdotb=0 a e b são perpendiculares (ou um deles é nulo).
  • Triplo escalar [a,b,c] dá o volume orientado do paralelepípedo.
  • Em base ortonormal positiva, a=(acdotu)u+(acdotv)v+(acdotw)w.

Passo 2

( ) Se a e b são paralelos, então atimesb=0;
( ) Se atimesb=0, então a ou b é igual a 0.
Justificativa: por definição de produto vetorial, ele mede a área do paralelogramo gerado e é nulo exatamente quando os vetores são colineares (paralelos) ou quando um deles é nulo.
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois atimesb=0 também ocorre quando a e b são não nulos mas paralelos.

Passo 3

( ) Se a e b são perpendiculares, então acdotb=0;
( ) Se acdotb=0, então a ou b é igual a 0.
Justificativa: produto escalar zero significa projeção nula, ou seja, vetores ortogonais (ou um é nulo).
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois dois vetores não nulos podem ser perpendiculares e ainda dar produto escalar zero.

Passo 4

( ) Existem vetores não nulos a e b tais que atimesb=0 e acdotb=0.
Justificativa: atimesb=0 exige que a e b sejam paralelos, e acdotb=0 exige que sejam perpendiculares. A única forma de serem “ao mesmo tempo” é se um deles for nulo, mas a afirmação pede não nulos. Logo, não existem. A afirmação é falsa.

Passo 5

( ) Se a,b,c é uma base ortonormal, então c=atimesb.
Justificativa: numa base ortonormal positiva, vale atimesb=c. Mas se a base for ortonormal negativa, atimesb=-c. A afirmação não especifica orientação, então é falsa no sentido geral.

Passo 6

( ) Se alpha é o plano gerado por a e b e beta é o plano gerado por c e d, então alpha e beta são paralelos se, e somente se, (atimesb)times(ctimesd)=0.
Justificativa: o vetor normal a alpha é nalpha=atimesb, e a beta é nbeta=ctimesd. Planos são paralelos ⇔ normais são paralelos ⇔ nalphatimesnbeta=0. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 7

( ) Os vetores a,b e c são coplanares se, e somente se, [a,b,c]=0.
Justificativa: o triplo escalar [a,b,c] é o volume orientado do paralelepípedo; ele é nulo ⇔ vetores coplanares. Portanto, verdadeira.

Passo 8

( ) Se a,b,c é uma base ortonormal, então [a,b,c]=pm1.
Justificativa: numa base ortonormal, o volume do paralelepípedo era 1, e o sinal indica orientação (positiva ou negativa). Logo, verdadeira.

Passo 9

( ) Sempre que a e b forem colineares, terá-se |a+b|=|a|+|b|.
Justificativa: se colineares e têm o mesmo sentido, |a+b|=|a|+|b|. Mas se forem colineares em sentidos opostos, |a+b|=||a|-|b||neq|a|+|b| em geral. A afirmação afirma “sempre” e, portanto, é falsa.

Passo 10

( ) Se a e b são vetores unitários, então a+b tem a direção da bissetriz do ângulo (a,b).
Justificativa: isso só vale se acdotbneq -1, e mesmo assim a soma aponta para a bissetriz externa ou interna dependendo do cosseno. Em particular, se a=-b, a+b=0 não tem direção definida. Logo, a afirmação é falsa sem mais condições.

Passo 11

( ) Se a e b são vetores do espaço, então |apmb|^2=|a|^2pm 2,acdotb+|b|^2.
Justificativa: é a identidade do paralelogramo, válida para soma e diferença. Portanto, verdadeira.

Passo 12

( ) Três vetores ortogonais são sempre LI.
Justificativa: vetores mutuamente perpendiculares não se expressam como combinação linear uns dos outros, desde que sejam não nulos. Logo, verdadeira.

Passo 13

( ) Se |a|=1, então o vetor Projab tem comprimento |acdotb|.
Justificativa: projeção de b em a (unitário) é (acdotb),a, cujo comprimento é |acdotb|. Logo, verdadeira.

Passo 14

( ) Se u,v,w é uma base positiva, então u,w,v também o é.
Justificativa: trocar dois vetores inverte a orientação da base. Então uma base positiva vira negativa. A afirmação é falsa.

Passo 15

( ) O conjunto u,v,v é uma base apenas quando u e v forem LI.
Justificativa: em R^3, uma base precisa de três vetores LI; aqui há repetição de v, logo no máximo dois vetores distintos. Mesmo que u e v sejam LI, não há vetor terceiro para completar. A afirmação é falsa.

Passo 16

( ) Se u,v,w é uma base ortonormal e a é um vetor, então
|a|^2=(acdotu)^2+(acdotv)^2+(acdotw)^2.
Justificativa: é o Teorema de Pitágoras em dimensão 3 (parseval). Em base ortonormal, as componentes ao quadrado somam o quadrado da norma. Logo, verdadeira.

Resposta

Verdadeiras: 1ª, 3ª, 6ª, 7ª, 8ª, 11ª, 12ª, 13ª e 16ª afirmações.
Falsas: 2ª, 4ª, 5ª, 9ª, 10ª, 14ª e 15ª afirmações.

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