1.41 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
( ) Se
e
são paralelos, então
;
( ) Se
, então
ou
é igual a
;
( ) Se
e
são perpendiculares, então
;
( ) Se
, então
ou
é igual a
;
( ) Existem vetores não nulos
e
tais que
e
;
( ) Se
é uma base ortonormal, então
;
( ) Se
é o plano gerado por
e
e
é o plano gerado por
e
, então
e
são paralelos se, e somente se,
;
( ) Os vetores
e
são coplanares se, e somente se,
;
( ) Se
é uma base ortonormal, então
;
( ) Sempre que
e
forem colineares, ter-se-á
;
( ) Se
e
são vetores unitários, então
tem a direção da bissetriz do ângulo (
);
( ) Se
e
são vetores do espaço, então
.
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se
, então o vetor
tem comprimento
;
( ) Se
é uma base positiva, então
também o é;
( ) O conjunto
é uma base apenas quando
e
forem LI.
( ) Se
é uma base ortonormal e
é um vetor, então
.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Existem vetores não nulos
( ) Se
( ) Se
( ) Os vetores
( ) Se
( ) Sempre que
( ) Se
( ) Se
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se
( ) Se
( ) O conjunto
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa no contexto de vetores em
, usando propriedades do produto vetorial, produto escalar, triplo escalar, bases (ortonormais, orientações) e normas. Vamos lembrar as definições e teoremas básicos:
-
⇔ e são paralelos (ou um deles é nulo). -
⇔ e são perpendiculares (ou um deles é nulo). - Triplo escalar
dá o volume orientado do paralelepípedo. - Em base ortonormal positiva,
.
Passo 2
( ) Se
e
são paralelos, então
;
( ) Se , então
ou
é igual a
.
( ) Se
Justificativa: por definição de produto vetorial, ele mede a área do paralelogramo gerado e é nulo exatamente quando os vetores são colineares (paralelos) ou quando um deles é nulo.
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois também ocorre quando
e
são não nulos mas paralelos.
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois
Passo 3
( ) Se
e
são perpendiculares, então
;
( ) Se , então
ou
é igual a
.
( ) Se
Justificativa: produto escalar zero significa projeção nula, ou seja, vetores ortogonais (ou um é nulo).
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois dois vetores não nulos podem ser perpendiculares e ainda dar produto escalar zero.
– A primeira afirmação é verdadeira.
– A segunda é falsa, pois dois vetores não nulos podem ser perpendiculares e ainda dar produto escalar zero.
Passo 4
( ) Existem vetores não nulos
e
tais que
e
.
Justificativa:
exige que
e
sejam paralelos, e
exige que sejam perpendiculares. A única forma de serem “ao mesmo tempo” é se um deles for nulo, mas a afirmação pede não nulos. Logo, não existem. A afirmação é falsa.
Passo 5
( ) Se
é uma base ortonormal, então
.
Justificativa: numa base ortonormal positiva, vale
. Mas se a base for ortonormal negativa,
. A afirmação não especifica orientação, então é falsa no sentido geral.
Passo 6
( ) Se
é o plano gerado por
e
e
é o plano gerado por
e
, então
e
são paralelos se, e somente se,
.
Justificativa: o vetor normal a
é
, e a
é
. Planos são paralelos ⇔ normais são paralelos ⇔
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
( ) Os vetores
e
são coplanares se, e somente se,
.
Justificativa: o triplo escalar
é o volume orientado do paralelepípedo; ele é nulo ⇔ vetores coplanares. Portanto, verdadeira.
Passo 8
( ) Se
é uma base ortonormal, então
.
Justificativa: numa base ortonormal, o volume do paralelepípedo era
, e o sinal indica orientação (positiva ou negativa). Logo, verdadeira.
Passo 9
( ) Sempre que
e
forem colineares, terá-se
.
Justificativa: se colineares e têm o mesmo sentido,
. Mas se forem colineares em sentidos opostos,
em geral. A afirmação afirma “sempre” e, portanto, é falsa.
Passo 10
( ) Se
e
são vetores unitários, então
tem a direção da bissetriz do ângulo
.
Justificativa: isso só vale se
, e mesmo assim a soma aponta para a bissetriz externa ou interna dependendo do cosseno. Em particular, se
,
não tem direção definida. Logo, a afirmação é falsa sem mais condições.
Passo 11
( ) Se
e
são vetores do espaço, então
.
Justificativa: é a identidade do paralelogramo, válida para soma e diferença. Portanto, verdadeira.
Passo 12
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI.
Justificativa: vetores mutuamente perpendiculares não se expressam como combinação linear uns dos outros, desde que sejam não nulos. Logo, verdadeira.
Passo 13
( ) Se
, então o vetor
tem comprimento
.
Justificativa: projeção de
em
(unitário) é
, cujo comprimento é
. Logo, verdadeira.
Passo 14
( ) Se
é uma base positiva, então
também o é.
Justificativa: trocar dois vetores inverte a orientação da base. Então uma base positiva vira negativa. A afirmação é falsa.
Passo 15
( ) O conjunto
é uma base apenas quando
e
forem LI.
Justificativa: em
, uma base precisa de três vetores LI; aqui há repetição de
, logo no máximo dois vetores distintos. Mesmo que
e
sejam LI, não há vetor terceiro para completar. A afirmação é falsa.
Passo 16
( ) Se
é uma base ortonormal e
é um vetor, então
.
Justificativa: é o Teorema de Pitágoras em dimensão 3 (parseval). Em base ortonormal, as componentes ao quadrado somam o quadrado da norma. Logo, verdadeira.
Resposta
Verdadeiras: 1ª, 3ª, 6ª, 7ª, 8ª, 11ª, 12ª, 13ª e 16ª afirmações.
Falsas: 2ª, 4ª, 5ª, 9ª, 10ª, 14ª e 15ª afirmações.
Falsas: 2ª, 4ª, 5ª, 9ª, 10ª, 14ª e 15ª afirmações.