Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
;
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas fórmulas envolvendo a parte real e a parte imaginária de um número complexo. As perguntas são:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
-
é um número complexo qualquer. -
denota o conjugado complexo de .
Nada mais é assumido; a demonstração deve partir das definições básicas de número complexo e conjugado.
Passo 2
Lembrando as definições fundamentais (isso é importante pra resolver na prova sem erro):
- Um número complexo
pode ser escrito na forma cartesiana
onde
e
são números reais. Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária de
.
- Por definição,
- O conjugado de
é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
Observe que
. Essas identidades são as ferramentas básicas que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
e
:
Fazendo a soma termo a termo (somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente):
Agora dividimos por
:
Mas
é exatamente
. Portanto mostramos que
Intuição rápida: ao somar
com
as partes imaginárias se cancelam (soma
com
), sobrando só o dobro da parte real; dividir por 2 recupera a parte real.
Passo 4
Agora calculamos
. Substituindo
e
:
Subtraindo termo a termo:
Agora dividimos por
:
Cancelando
no numerador e denominador (note que
, então a divisão é válida):
Mas
é exatamente
. Portanto mostramos que
Intuição rápida: ao subtrair
e
as partes reais se cancelam, sobra o dobro da parte imaginária multiplicada por
; dividir por
recupera a parte imaginária.
Passo 5
Exemplo numérico rápido (útil para checar na prova): tome
. Então
.
-
-
Isso confirma na prática as fórmulas e ajuda a fixar a técnica: escreva, substitua, simplifique.