Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
\operatorname{Re} z=\frac{z+\bar{z}}{2} e \operatorname{Im} z=\frac{z-\bar{z}}{2 i};

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas fórmulas envolvendo a parte real e a parte imaginária de um número complexo. As perguntas são:
  • Mostrar que \operatorname{Re} z=\dfrac{z+\bar{z}}{2}.
  • Mostrar que \operatorname{Im} z=\dfrac{z-\bar{z}}{2 i}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • z é um número complexo qualquer.
  • \bar{z} denota o conjugado complexo de z.
    Nada mais é assumido; a demonstração deve partir das definições básicas de número complexo e conjugado.

Passo 2

Lembrando as definições fundamentais (isso é importante pra resolver na prova sem erro):
  • Um número complexo z pode ser escrito na forma cartesiana
z = x + i y,
onde x e y são números reais. Aqui x é a parte real e y é a parte imaginária de z.
  • Por definição,
\operatorname{Re} z = x \quad\text{e}\quad \operatorname{Im} z = y.
  • O conjugado de z é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
\bar{z} = x - i y.
Observe que x,y\in\mathbb{R}. Essas identidades são as ferramentas básicas que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{z+\bar{z}}{2} substituindo z=x+iy e \bar{z}=x-iy:
z+\bar{z} = (x+iy)+(x-iy).
Fazendo a soma termo a termo (somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente):
(x+iy)+(x-iy) = (x+x) + i(y-y) = 2x + i\cdot 0 = 2x.
Agora dividimos por 2:
\frac{z+\bar{z}}{2} = \frac{2x}{2} = x.
Mas x é exatamente \operatorname{Re} z. Portanto mostramos que
\operatorname{Re} z = \frac{z+\bar{z}}{2}.
Intuição rápida: ao somar z com \bar{z} as partes imaginárias se cancelam (soma iy com -iy), sobrando só o dobro da parte real; dividir por 2 recupera a parte real.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{z-\bar{z}}{2i}. Substituindo z=x+iy e \bar{z}=x-iy:
z-\bar{z} = (x+iy)-(x-iy).
Subtraindo termo a termo:
(x+iy)-(x-iy) = (x-x) + i(y-(-y)) = 0 + i(2y) = 2 i y.
Agora dividimos por 2i:
\frac{z-\bar{z}}{2i} = \frac{2 i y}{2 i}.
Cancelando 2i no numerador e denominador (note que 2i\neq 0, então a divisão é válida):
\frac{2 i y}{2 i} = y.
Mas y é exatamente \operatorname{Im} z. Portanto mostramos que
\operatorname{Im} z = \frac{z-\bar{z}}{2 i}.
Intuição rápida: ao subtrair z e \bar{z} as partes reais se cancelam, sobra o dobro da parte imaginária multiplicada por i; dividir por 2i recupera a parte imaginária.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (útil para checar na prova): tome z=3+4i. Então \bar{z}=3-4i.
  • \dfrac{z+\bar{z}}{2}=\dfrac{(3+4i)+(3-4i)}{2}=\dfrac{6}{2}=3=\operatorname{Re}z.
  • \dfrac{z-\bar{z}}{2i}=\dfrac{(3+4i)-(3-4i)}{2i}=\dfrac{8i}{2i}=4=\operatorname{Im}z.
    Isso confirma na prática as fórmulas e ajuda a fixar a técnica: escreva z=x+iy, substitua, simplifique.

Resposta

\operatorname{Re} z=\dfrac{z+\bar{z}}{2}
\operatorname{Im} z=\dfrac{z-\bar{z}}{2 i}

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