Demonstre as seguintes propriedades dos números complexos: , onde n é um inteiro positivo
[Dica: Escreva z=a+b i, w=c+d i.]
Passo 1
Primeiro, o enunciado pede pra demonstrar que z^n = z^n para todo inteiro positivo n. O conteúdo aqui é usar propriedades de conjugado em números complexos e vamos precisar do fato fundamental de que para quaisquer complexos z e w vale z,w = z,w.
Passo 2
Mostramos agora essa propriedade de conjugado de produto. Escrevendo z = a + bi e w = c + di, temos z,w = (ac - bd) + i(ad + bc), então z,w = (ac - bd) - i(ad + bc). Por outro lado, z = a - bi e w = c - di, e multiplicando z,w = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - i(ad + bc). Assim concluímos que z,w = z,w.
Passo 3
Vamos usar indução em n. Para n = 1 a afirmação é z^1 = z, que é óbvio já que z^1 = z. Logo, a base da indução está feita.
Passo 4
Suponha agora que para algum k >= 1 valha z^k = z^k. Esse é o passo de hipótese de indução.
Passo 5
No passo de indução a gente prova que z^k+1 = z^,k+1. Como z^k+1 = z^k ,z, aplicando o conjugado e usando z,w = z,w, temos z^k+1 = z^k ,z = z^k,z. Pela hipótese de indução isso dá z^k ,z = z^,k+1, fechando o passo.
Passo 6
Por indução matemática chegamos à conclusão de que para todo inteiro positivo n vale z^n = z^n, que era o que queríamos mostrar.
Resposta
Concluímos que para todo inteiro positivo n vale z^n = z^n.