Demonstre a Segunda e a Terceira Leis de Kepler.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a Segunda e a Terceira Leis de Kepler. Vamos usar mecânica clássica: força gravitacional de Newton, conservação do momento angular e propriedades da órbita sob força central.

Passo 2

Em qualquer força central , isto é, quando F = f(r),hat r, o torque é nulo:
boldsymbol M = r times F = 0
Então o momento angular L = m, r times v é constante. A ‘‘velocidade areolar’’ (área varrida por unidade de tempo) é
dAdt = 12,r^2,dottheta = L2m = constante
Isso é exatamente a Segunda Lei de Kepler: o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

Passo 3

Sob a força gravitacional F = -G,M,m,/r^2,hat r, a órbita é uma cônica. Para energia total negativa, obtemos uma elipse com semieixos maiores a e b. A área total da elipse é
A = pi,a,b

Passo 4

Como vimos, dA/dt = L/(2m) é constante, então o período T (tempo para varrer toda a área) satisfaz
T = A(dA/dt) = pi,a,bL/(2m) = 2pi,a,b,mL
Pela relação da constante da órbita elíptica,
L^2 = m,G,M,b^2a,
segue
T = 2pi,raizm,a^3G,M

Passo 5

Elevando ao quadrado,
T^2 = 4pi^2,m,a^3G,M ; Rightarrow; T^2 propto a^3
Para planetas de massa desprezível frente ao Sol (, mll M), obtemos a Terceira Lei de Kepler: T^2propto a^3, com constante comum a todos.

Passo 6

Dessa forma, demonstramos:
– Segunda Lei: dA/dt = constante.
– Terceira Lei: T^2 propto a^3.

Resposta

Segunda Lei de Kepler: o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja, dfracdAdt=constante
Terceira Lei de Kepler: o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita, ou seja,
$$
T^2 = \frac{4\pi2}{G(M+m)},a3 \approx \frac{4\pi2}{G,M},a3 \quad(m\ll M).$$

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