Demonstre a Segunda e a Terceira Leis de Kepler.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a Segunda e a Terceira Leis de Kepler. Vamos usar mecânica clássica: força gravitacional de Newton, conservação do momento angular e propriedades da órbita sob força central.
Passo 2
Em qualquer força central , isto é, quando
, o torque é nulo:
Então o momento angular
é constante. A ‘‘velocidade areolar’’ (área varrida por unidade de tempo) é
Isso é exatamente a Segunda Lei de Kepler: o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais.
Passo 3
Sob a força gravitacional
, a órbita é uma cônica. Para energia total negativa, obtemos uma elipse com semieixos maiores
e
. A área total da elipse é
Passo 4
Como vimos,
é constante, então o período
(tempo para varrer toda a área) satisfaz
Pela relação da constante da órbita elíptica,
segue
Passo 5
Elevando ao quadrado,
Para planetas de massa desprezível frente ao Sol (,
), obtemos a Terceira Lei de Kepler:
, com constante comum a todos.
Passo 6
Dessa forma, demonstramos:
– Segunda Lei: .
– Terceira Lei: .
– Segunda Lei:
– Terceira Lei:
Resposta
Segunda Lei de Kepler: o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja,
Terceira Lei de Kepler: o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita, ou seja,
$$
T^2 = \frac{4\pi2}{G(M+m)},a3 \approx \frac{4\pi2}{G,M},a3 \quad(m\ll M).$$