Suponha a órbita da Terra como sendo circular e que a massa do Sol se reduza à metade do seu valor. Qual será a nova órbita da Terra? A Terra escapará do sistema solar?

Passo 1

O enunciado diz que a Terra está inicialmente em órbita circular de raio r0 em torno do Sol de massa M. De repente a massa do Sol é reduzida para M' = M/2. Para resolver a questão vamos usar mecânica orbital básica e conservação da velocidade instantânea da Terra.

Passo 2

Como a mudança de massa do Sol é súbita, a velocidade da Terra no instante após a mudança permanece igual à velocidade circular original. Para órbita circular temos:
v0 = raizG Mr0
onde G é a constante gravitacional.
Calculemos a energia específica (energia por unidade de massa) da Terra no novo campo gravitacional. A energia específica varepsilon é
$$\varepsilon = \frac{v_0^2}{2} - \frac{G M

Passo 3

r_0}. Substituindo $v0^2 = GM/r0$ e $M'=M/2$ obtemos: \varepsilon = \frac{1}{2}\frac{G M}{r_0} - \frac{G (M/2)}{r_0} = 0.$$
Quando a energia específica , a trajetória é parabólica, ou seja, a Terra não fica em órbita fechada e segue uma trajetória de separação limite.

Passo 4

Como a órbita resultante é parabólica (excentricidade e=1 e semieixo maior a=infty), a Terra escapa do sistema solar, embora com velocidade de escape tendendo a zero na região muito afastada.

Resposta

A nova trajetória é uma órbita parabólica (excentricidade e=1 e semieixo maior infinito). Portanto a Terra escapará do sistema solar.

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