Suponha a órbita da Terra como sendo circular e que a massa do Sol se reduza à metade do seu valor. Qual será a nova órbita da Terra? A Terra escapará do sistema solar?
Passo 1
O enunciado diz que a Terra está inicialmente em órbita circular de raio
em torno do Sol de massa
. De repente a massa do Sol é reduzida para
. Para resolver a questão vamos usar mecânica orbital básica e conservação da velocidade instantânea da Terra.
Passo 2
Como a mudança de massa do Sol é súbita, a velocidade da Terra no instante após a mudança permanece igual à velocidade circular original. Para órbita circular temos:
onde
Calculemos a energia específica (energia por unidade de massa) da Terra no novo campo gravitacional. A energia específica
$$\varepsilon = \frac{v_0^2}{2} - \frac{G M
Passo 3
r_0}.
\varepsilon = \frac{1}{2}\frac{G M}{r_0} - \frac{G (M/2)}{r_0} = 0.$$
Quando a energia específica
, a trajetória é parabólica, ou seja, a Terra não fica em órbita fechada e segue uma trajetória de separação limite.
Passo 4
Como a órbita resultante é parabólica (excentricidade
e semieixo maior
), a Terra escapa do sistema solar, embora com velocidade de escape tendendo a zero na região muito afastada.
Resposta
A nova trajetória é uma órbita parabólica (excentricidade
e semieixo maior infinito). Portanto a Terra escapará do sistema solar.