A distância mínima de um cometa ao Sol (periélio) é metade do raio da órbita da Terra (circular), e sua velocidade nesse ponto é o dobro da velocidade orbital da Terra. Encontre sua velocidade quando ele cruza a órbita da Terra, e o ângulo no qual as órbitas se cruzam. O cometa escapará do sistema solar? Que tipo de órbita ele segue?

Passo 1

O cometa tem periélio a metade do raio da órbita circular da Terra, isto é rp=R/2, e no periélio sua velocidade vale o dobro da da Terra vp=2vE. Precisamos achar a velocidade quando ele cruza r=R, o ângulo de interseção entre as órbitas e verificar se escapa do sistema solar. Para isso vamos usar mecânica orbital: conservação de energia e parâmetros de conica.

Passo 2

A energia mecânica específica do cometa é
varepsilon=vp^22-murp =(2vE)^22-muR/2 =4mu/R2-2muR =2muR-2muR =0
Como varepsilon=0, a órbita é parabólica e a energia nula indica que o cometa escapa do sistema solar.

Passo 3

Para encontrar a velocidade em r=R, usamos conservação de energia com varepsilon=0:
v^2=2murRightarrow v=raiz2muR=raiz2,vE

Passo 4

Num órbita parabólica o excentricidade é e=1 e o semilatus rectum é p=2rp=R. A equação da órbita
r=p1+cos f
para r=R 1+cos f=1 e logo cos f=0, isto é f=pm90°. No ramo de aproximação usamos f=-90°.

Passo 5

O ângulo de vôo (flight path angle) gamma no ponto de cruzamento satisfaz
tangamma=esin f1+ecos f=1cdot(-1)1+0=-1 Rightarrow gamma=-45°
O módulo do ângulo entre as direções dos vetores velocidade do cometa e da Terra é portanto 45°.

Resposta

A velocidade ao cruzar a órbita da Terra é v=raiz2,vTerra, o ângulo de interseção entre as órbitas é de 45°; como a energia específica é zero, o cometa escapa do sistema solar seguindo uma órbita parabólica.

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