Se a velocidade de lançamento v é igual à velocidade da órbita circular vc em uma órbita logo acima da superfície da Terra, que altura o projétil alcançará para um dado ângulo de lançamento alpha ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual será a altura máxima (acima da superfície da Terra) atingida por um projétil lançado com velocidade inicial igual à velocidade de órbita circular em baixa altitude vc, para um dado ângulo de lançamento alpha. O conteúdo é mecânica orbital, e vamos precisar usar conservação de energia e momento angular para caracterizar a órbita como uma elipse e então encontrar seu apoastro.

Passo 2

Escrevemos a energia mecânica específica (por unidade de massa) no instante do lançamento. Como v=vc=raizGM/R, temos
E=v^22-GMR=GM/(R)2-GMR=-GM2R,

Passo 3

Anotamos o momento angular específico. Decompomos v em componentes radial e transversal: vr=vsinalpha e vtheta=vcosalpha. Como h=r,vtheta e r=R,
h=R,vcosalpha=R,vccosalpha=RraizGMRcosalpha=raizGM,R,cosalpha,

Passo 4

Usamos a fórmula da excentricidade de uma órbita a partir de energia e momento angular:
$$e=\sqrt{1+\frac{2Eh2}{(GM)2}};.
e=raiz1+2Eh^2(GM)^2; e=\sqrt{1+\frac{2(-GM/(2R))(GM,R,\cos2\alpha)}{(GM)2}}=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sin\alpha,.
$$

Passo 5

O semi-eixo maior da elipse vem de a=-GM/(2E). Como E=-GM/(2R), segue a=R. O apoastro (distância máxima ao centro) é
$$r_{\max}=a(1+e)=R,(1+\sin\alpha),.
$$

Passo 6

A altura máxima acima da superfície é
$$h_{\max}=r_{\max}-R=R\sin\alpha,.
$$

Resposta

h_{\max}=R,\sin\alpha

Exercícios relacionados