Se a velocidade de lançamento
é igual à velocidade da órbita circular
em uma órbita logo acima da superfície da Terra, que altura o projétil alcançará para um dado ângulo de lançamento
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual será a altura máxima (acima da superfície da Terra) atingida por um projétil lançado com velocidade inicial igual à velocidade de órbita circular em baixa altitude
, para um dado ângulo de lançamento
. O conteúdo é mecânica orbital, e vamos precisar usar conservação de energia e momento angular para caracterizar a órbita como uma elipse e então encontrar seu apoastro.
Passo 2
Escrevemos a energia mecânica específica (por unidade de massa) no instante do lançamento. Como
, temos
Passo 3
Anotamos o momento angular específico. Decompomos
em componentes radial e transversal:
e
. Como
e
,
Passo 4
Usamos a fórmula da excentricidade de uma órbita a partir de energia e momento angular:
$$e=\sqrt{1+\frac{2Eh2}{(GM)2}};.
$$
Passo 5
O semi-eixo maior da elipse vem de
. Como
, segue
. O apoastro (distância máxima ao centro) é
$$r_{\max}=a(1+e)=R,(1+\sin\alpha),.
$$
Passo 6
A altura máxima acima da superfície é
$$h_{\max}=r_{\max}-R=R\sin\alpha,.
$$
Resposta
h_{\max}=R,\sin\alpha