Mostre que as possiveis órbitas de uma partícula que se move sob a ação de uma força central, que varia com o inverso do quadrado da distância, são cônicas. Em que caso essas órbitas são elipses? Em que caso são hipérboles?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma partícula sob a ação de uma força central do tipo inverso do quadrado da distância gera órbitas cônicas, e em seguida identificar quando elas são elipses ou hipérboles. O conteúdo usado será Mecânica Teórica (equações de movimento em coordenadas polares), conservação do momento angular e a equação de Binet.
Passo 2
Começamos pela equação radial de Newton em coordenadas polares: para uma partícula de massa m sujeita a F®=−α/r² temos
Como o momento angular L = m r²\dot\theta é constante, substituímos \dot\theta = L/(m r²).
Passo 3
Para eliminar o tempo, definimos u(θ)=1/r e usamos d/dt = (L/(m r²))d/dθ. Após derivar, obtemos a equação de Binet:
Passo 4
No caso F®=−α/r², a equação de Binet fica
que é uma equação linear de coeficientes constantes. A solução geral é
$$u(\theta)=\frac{m\alpha}{L^2} + A\cos(\theta-\theta_0).
$$
Passo 5
Reescrevendo em forma de cônica polar, definimos p = L²/(mα) e e = A p, de modo que
o que implica
que é justamente a equação polar de uma cônica com excentricidade e.
Passo 6
Para classificar a cônica: se e<1 temos elipse, se e=1 parábola e se e>1 hipérbole. Relacionando e com a energia total E, mostra-se que
Assim, E<0 ⇒ e<1 ⇒ órbita elíptica e E>0 ⇒ e>1 ⇒ órbita hiperbólica.
Resposta
As órbitas sob F®=−α/r² são dadas por r = p/(1 + e cos(θ−θ₀)), com p = L²/(mα) e e = √(1 + 2EL²/(mα²)). Elas são elipses quando e<1 (ou seja, E<0) e hipérboles quando e>1 (ou seja, E>0).