Demonstre que:
a) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
b) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p=n, a solução será única.
c) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p<n, podemos escolher n-p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear de m equações e n incógnitas
A x = b,
onde A é a matriz mtimes n de coeficientes, xin R^n é o vetor incógnita e bin R^m.
Queremos mostrar:
a) Há solução se, e só se, rank(A)=rank([Amid b]).
b) Se esse posto comum for p=n, a solução é única.
c) Se o posto comum for p<n, existem n-p incógnitas livres e as demais são expressas em função delas.
Para isso vamos usar noções de espaço coluna, posto (rank) e a dimensão do núcleo (teorema da dimensão:
dimker A + dimImA = n).

Passo 2

Prova de (a): “existe solução ⇔ rank(A)=rank([Amid b])”.
  1. Se existe x0 tal que A x0=b, então b é combinação linear das colunas de A. Logo o espaço coluna de [Amid b] é o mesmo de A, e portanto
rank([Amid b]) = rank(A)
  1. Reciprocamente, se rank([Amid b]) = rank(A)=p, isso diz que adicionar b como coluna não aumentou o posto, ou seja, b já pertencia ao espaço gerado pelas colunas de A. Logo existem escalares xii=1^n com
b = x1 Acdot1 + x2 Acdot2 + cdots + xn Acdot n,
que equivale a dizer A x = b. Portanto há solução.

Passo 3

Prova de (b): “se rank(A)=rank([Amid b])=p=n, então a solução é única”.
Quando rank(A)=n, as n colunas de A são linearmente independentes. Isso implica dimker A = n - rank(A) = 0. Agora, suponha que existam duas soluções x^(1) e x^(2). Então
Al(x^(1) - x^(2)r)=A x^(1) - A x^(2) = b-b = 0,
ou seja, x^(1)-x^(2)inker A. Mas ker A = 0, então x^(1)-x^(2)=0 e daí x^(1)=x^(2). Logo só pode haver uma única solução.

Passo 4

Prova de (c): “se rank(A)=rank([Amid b])=p<n, então há n-p variáveis livres e as outras p variáveis são dadas em função delas”.
Pelo teorema da dimensão,
dimker A = n - rank(A) = n - p >0
Isso significa que o espaço de soluções do sistema homogêneo A x=0 tem dimensão n-p. Quando vamos resolver A x=b, fixamos n-p incógnitas (chamadas livres) a valores quaisquer e usamos as p colunas independentes restantes para resolver o sistema triangular resultante pelas eliminação de Gauss. Essas p incógnitas ditas básicas ficam determinadas unicamente em função das n-p livres. Assim o conjunto das soluções de A x=b é um hiperplano afim de dimensão n-p.

Resposta

a) O sistema A x=b tem solução se, e somente se,
rank(A) = rank([Amid b])
b) Se esse posto comum for p=n, então dimker A=0 e a solução é única.
c) Se o posto comum for p<n, então dimker A=n-p>0 e há exatamente n-p incógnitas livres, com as outras p expressas em função dessas.

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