Demonstre que:
a) Um sistema de
equações e
incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
b) Se as duas matrizes têm o mesmo posto
e
, a solução será única.
c) Se as duas matrizes têm o mesmo posto
e
, podemos escolher
incógnitas, e as outras
incógnitas serão dadas em função destas.
a) Um sistema de
b) Se as duas matrizes têm o mesmo posto
c) Se as duas matrizes têm o mesmo posto
Passo 1
O enunciado fala de um sistema linear de
equações e
incógnitas
onde
é a matriz
de coeficientes,
é o vetor incógnita e
.
Queremos mostrar:
a) Há solução se, e só se, .
b) Se esse posto comum for , a solução é única.
c) Se o posto comum for , existem
incógnitas livres e as demais são expressas em função delas.
Queremos mostrar:
a) Há solução se, e só se,
b) Se esse posto comum for
c) Se o posto comum for
Para isso vamos usar noções de espaço coluna, posto (rank) e a dimensão do núcleo (teorema da dimensão:
).
Passo 2
Prova de (a): “existe solução ⇔
”.
- Se existe
tal que , então é combinação linear das colunas de . Logo o espaço coluna de é o mesmo de , e portanto
- Reciprocamente, se
, isso diz que adicionar como coluna não aumentou o posto, ou seja, já pertencia ao espaço gerado pelas colunas de . Logo existem escalares com
que equivale a dizer
. Portanto há solução.
Passo 3
Prova de (b): “se
, então a solução é única”.
Quando
, as
colunas de
são linearmente independentes. Isso implica
. Agora, suponha que existam duas soluções
e
. Então
ou seja,
. Mas
, então
e daí
. Logo só pode haver uma única solução.
Passo 4
Prova de (c): “se
, então há
variáveis livres e as outras
variáveis são dadas em função delas”.
Pelo teorema da dimensão,
Isso significa que o espaço de soluções do sistema homogêneo
tem dimensão
. Quando vamos resolver
, fixamos
incógnitas (chamadas livres) a valores quaisquer e usamos as
colunas independentes restantes para resolver o sistema triangular resultante pelas eliminação de Gauss. Essas
incógnitas ditas básicas ficam determinadas unicamente em função das
livres. Assim o conjunto das soluções de
é um hiperplano afim de dimensão
.
Resposta
a) O sistema
tem solução se, e somente se,
b) Se esse posto comum for
, então
e a solução é única.
c) Se o posto comum for , então
e há exatamente
incógnitas livres, com as outras
expressas em função dessas.
c) Se o posto comum for