Prove que toda matriz
é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.
Passo 1
O problema quer mostrar duas coisas sobre uma matriz
:
- Existe uma matriz em forma escada reduzida (RREF) que é obtida de
por operações elementares de linha. - Essa forma escada reduzida é única, ou seja, não importa quais operações de linha usamos, o resultado final será sempre a mesma matriz.
Para isso precisamos usar o procedimento de eliminação de Gauss–Jordan (para a existência) e, para a unicidade, um argumento baseado no espaço de linhas de
e na forma particular que a RREF impõe aos vetores-pivô.
Passo 2
(Existência via Gauss–Jordan)
Começamos aplicando operações elementares de linha a :
Começamos aplicando operações elementares de linha a
- Encontre a primeira coluna que contenha algum elemento não nulo. Se necessário, troque linhas para que o primeiro elemento não nulo dessa coluna fique na primeira linha.
- Escale essa linha para transformar esse elemento em
; esse é o pivô. - Zere todos os elementos abaixo desse pivô, somando múltiplos apropriados da primeira linha às linhas inferiores.
- Repita o processo nas submatrizes formadas pelas linhas e colunas abaixo e à direita do pivô até zerar tudo abaixo dos novos pivôs.
O resultado é uma matriz em forma escada. Para chegar à forma escada reduzida, tomamos cada pivô e zeramos também todos os elementos que estiverem acima dele, usando combinações de linhas. Isso não altera o fato de os pivôs estarem escalonados e terem valor
. Terminamos com uma matriz em que cada coluna de pivô contém um único
e zeros em todas as outras entradas, e as colunas sem pivô têm zeros na linha dos pivôs. Assim a RREF existe.
Passo 3
(Unicidade da RREF)
Suponha que e
sejam duas formas escada reduzidas ambas obtidas por operações de linha a partir de
. Então
e
têm o mesmo espaço de linhas (pois operações de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas). Isto implica:
Suponha que
- O número de pivôs (o posto) em
e em é o mesmo, digamos . - As colunas que contêm pivôs em
formam uma base do espaço de linhas e, por unicidade da base de coordenadas em relação a essa base, devem ser exatamente as mesmas colunas-pivô que em . - Em cada coluna-pivô, tanto em
quanto em , só há um único e zeros nas outras linhas. Logo essas colunas coincidem termo a termo. - As colunas não-pivô em RREF são combinações lineares das colunas-pivô, e os coeficientes dessas combinações vêm diretamente das entradas dessas colunas em
ou em . Como a base de colunas-pivô é a mesma, a representação de cada coluna não-pivô é única e os coeficientes coincidem em e em .
Portanto cada entrada de
coincide com a de
, isto é,
.
Passo 4
Juntando os dois argumentos acima, concluímos que para toda matriz
existe pelo menos uma RREF obtida por operações de linha e que essa RREF não depende das escolhas feitas durante a eliminação: é única.
Resposta
Qualquer matriz
é linha-equivalente a uma única matriz em forma escada reduzida (RREF).