Prove que toda matriz Am times n é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.

Passo 1

O problema quer mostrar duas coisas sobre uma matriz ,Amtimes n,:
  1. Existe uma matriz em forma escada reduzida (RREF) que é obtida de A por operações elementares de linha.
  2. Essa forma escada reduzida é única, ou seja, não importa quais operações de linha usamos, o resultado final será sempre a mesma matriz.
Para isso precisamos usar o procedimento de eliminação de Gauss–Jordan (para a existência) e, para a unicidade, um argumento baseado no espaço de linhas de A e na forma particular que a RREF impõe aos vetores-pivô.

Passo 2

(Existência via Gauss–Jordan)
Começamos aplicando operações elementares de linha a A:
  1. Encontre a primeira coluna que contenha algum elemento não nulo. Se necessário, troque linhas para que o primeiro elemento não nulo dessa coluna fique na primeira linha.
  2. Escale essa linha para transformar esse elemento em 1; esse 1 é o pivô.
  3. Zere todos os elementos abaixo desse pivô, somando múltiplos apropriados da primeira linha às linhas inferiores.
  4. Repita o processo nas submatrizes formadas pelas linhas e colunas abaixo e à direita do pivô até zerar tudo abaixo dos novos pivôs.
O resultado é uma matriz em forma escada. Para chegar à forma escada reduzida, tomamos cada pivô e zeramos também todos os elementos que estiverem acima dele, usando combinações de linhas. Isso não altera o fato de os pivôs estarem escalonados e terem valor 1. Terminamos com uma matriz em que cada coluna de pivô contém um único 1 e zeros em todas as outras entradas, e as colunas sem pivô têm zeros na linha dos pivôs. Assim a RREF existe.

Passo 3

(Unicidade da RREF)
Suponha que R e S sejam duas formas escada reduzidas ambas obtidas por operações de linha a partir de A. Então R e S têm o mesmo espaço de linhas (pois operações de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas). Isto implica:
  • O número de pivôs (o posto) em R e em S é o mesmo, digamos r.
  • As colunas que contêm pivôs em R formam uma base do espaço de linhas e, por unicidade da base de coordenadas em relação a essa base, devem ser exatamente as mesmas colunas-pivô que em S.
  • Em cada coluna-pivô, tanto em R quanto em S, só há um único 1 e zeros nas outras linhas. Logo essas colunas coincidem termo a termo.
  • As colunas não-pivô em RREF são combinações lineares das colunas-pivô, e os coeficientes dessas combinações vêm diretamente das entradas dessas colunas em R ou em S. Como a base de colunas-pivô é a mesma, a representação de cada coluna não-pivô é única e os coeficientes coincidem em R e em S.
Portanto cada entrada de R coincide com a de S, isto é, R=S.

Passo 4

Juntando os dois argumentos acima, concluímos que para toda matriz ,Amtimes n existe pelo menos uma RREF obtida por operações de linha e que essa RREF não depende das escolhas feitas durante a eliminação: é única.

Resposta

Qualquer matriz ,Amtimes n é linha-equivalente a uma única matriz em forma escada reduzida (RREF).

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