Prove que dois sistemas lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes por linhas são sistemas equivalentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois sistemas lineares
A x = b
e
A' x = b'
têm suas matrizes ampliadas l[,Amid b,r] e l[,A'mid b',r] equivalentes por operações elementares de linha, então eles têm exatamente o mesmo conjunto de soluções, isto é, são sistemas equivalentes.

Passo 2

Lembre que duas equações lineares são ditas equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Há três tipos de operação elementar de linha sobre l[,Amid b,r]:\n
– trocar a equação i com a equação j;\n
– multiplicar a equação i por um escalar não nulo lambda;\n
– substituir a equação i pela soma da equação i com lambda vezes a equação j.\n
Mostraremos que cada uma delas preserva o conjunto de soluções.

Passo 3

Considere as três operações em detalhe:
  1. Troca de linhas: trocar a equação i com a j não altera o fato de um vetor x satisfazer ambas, apenas muda a ordem. Logo o conjunto de soluções permanece o mesmo.
  2. Escalonamento de linha: substituir a equação
(eqn (i)):;ai^Tx = bi
por
lambdal(ai^Tx = bir)(lambdaneq0)
significa resolver
lambda,ai^Tx = lambda,bi
Se x satisfazia ai^Tx=bi, satisfaz também a equação escalonada, e vice-versa, pois lambda é invertível. Logo o conjunto de soluções desta equação não muda.
  1. Substituição de linha: trocar a equação i
ai^Tx = bi
pela soma
ai^Tx + lambda,aj^Tx = bi + lambda,bj
é equivalente a exigir simultaneamente
ai^Tx = bi e aj^Tx = bj
Portanto, qualquer x que satisfaça as duas originais satisfaz a nova e vice-versa. Assim o conjunto de soluções não muda.

Passo 4

Se l[,Amid b,r] e l[,A'mid b',r] são equivalentes por linhas, existe uma sequência finita de operações elementares levando uma à outra. Como cada operação preserva exatamente o mesmo conjunto de soluções, a aplicação sucessiva delas mostra que
,xmid A x=b ;=; ,xmid A' x=b'
Ou seja, os dois sistemas têm o mesmo conjunto de soluções.

Resposta

Dois sistemas lineares cujas matrizes ampliadas são equivalentes por linhas são sistemas equivalentes, pois cada operação elementar de linha preserva o conjunto de soluções.

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