Prove que dois sistemas lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes por linhas são sistemas equivalentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se dois sistemas lineares
e
têm suas matrizes ampliadas
e
equivalentes por operações elementares de linha, então eles têm exatamente o mesmo conjunto de soluções, isto é, são sistemas equivalentes.
Passo 2
Lembre que duas equações lineares são ditas equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Há três tipos de operação elementar de linha sobre
:\n
– trocar a equação com a equação
;\n
– multiplicar a equação por um escalar não nulo
;\n
– substituir a equação pela soma da equação
com
vezes a equação
.\n
Mostraremos que cada uma delas preserva o conjunto de soluções.
– trocar a equação
– multiplicar a equação
– substituir a equação
Mostraremos que cada uma delas preserva o conjunto de soluções.
Passo 3
Considere as três operações em detalhe:
-
Troca de linhas: trocar a equação
com a não altera o fato de um vetor satisfazer ambas, apenas muda a ordem. Logo o conjunto de soluções permanece o mesmo. -
Escalonamento de linha: substituir a equação
por
significa resolver
Se
satisfazia
, satisfaz também a equação escalonada, e vice-versa, pois
é invertível. Logo o conjunto de soluções desta equação não muda.
- Substituição de linha: trocar a equação
pela soma
é equivalente a exigir simultaneamente
Portanto, qualquer
que satisfaça as duas originais satisfaz a nova e vice-versa. Assim o conjunto de soluções não muda.
Passo 4
Se
e
são equivalentes por linhas, existe uma sequência finita de operações elementares levando uma à outra. Como cada operação preserva exatamente o mesmo conjunto de soluções, a aplicação sucessiva delas mostra que
Ou seja, os dois sistemas têm o mesmo conjunto de soluções.
Resposta
Dois sistemas lineares cujas matrizes ampliadas são equivalentes por linhas são sistemas equivalentes, pois cada operação elementar de linha preserva o conjunto de soluções.