Questão 1: Considere o seguinte subconjunto de R^5 :
W=(x, y, z, w, t) in R^5 ; x+y-2 z=0 e t=0
(a) (15 pontos) Mostre que W é um subespaço vetorial de R^5.
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,w,t)in R^5 mid x + y - 2z = 0,; t = 0
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que W é subespaço vetorial de R^5.
  2. Encontrar uma base de W e sua dimensão.
    Para a parte (a) vamos usar o teste padrão de subespaço: mostrar que W não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Para a parte (b) vamos parametrizar as soluções das equações lineares, extrair vetores geradores e verificar independência.

Passo 2

Mostrando que W é subespaço vetorial:
  1. Não vazio: o vetor zero (0,0,0,0,0) satisfaz
0 + 0 - 2cdot0 = 0, 0 = 0,
logo 0in W.
2. Fechamento em soma: sejam u=(x1,y1,z1,w1,t1) e v=(x2,y2,z2,w2,t2) em W. Então
xi + yi - 2zi = 0, ti=0, i=1,2
Na soma u+ v=(x1+x2,dots,t1+t2) temos
(x1+x2)+(y1+y2)-2(z1+z2) =(x1+y1-2z1)+(x2+y2-2z2)=0+0=0
e t1+t2=0+0=0. Logo u+ vin W.
3. Fechamento em escalar: se u=(x,y,z,w,t)in W e lambdainR, então
lambda x + lambda y - 2(lambda z) =lambda(x+y-2z)=lambdacdot0=0,
e lambda t = lambdacdot0 = 0. Logo lambda uin W.
Portanto W é subespaço vetorial de R^5.

Passo 3

Parametrização de W: nas equações
x + y - 2z = 0, t = 0
podemos escolher y,z,w como parâmetros livres e obter
x = 2z - y, t = 0
Logo um genérico vin W é
v = (x,y,z,w,t) =(2z - y,;y,;z,;w,;0)
Reagrupando em coeficientes de y,z,w,
v = y,(-1,1,0,0,0) +z,(2,0,1,0,0) +w,(0,0,0,1,0)

Passo 4

Verificação de base e dimensão:
Os três vetores
v1 = (-1,1,0,0,0), v2 = (2,0,1,0,0), v3 = (0,0,0,1,0)
geram W pela parametrização acima. Para checar independência, note que a única combinação
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
leva ao sistema linear
-,alpha + 2beta = 0, alpha = 0, beta = 0, gamma = 0,
que tem só a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Logo v1,v2,v3 é LI e gera W, isto é, é uma base. Como são três vetores,
dim W = 3

Resposta

(a) W é subespaço vetorial de R^5.
(b) Uma base de W é
,(-1,1,0,0,0),;(2,0,1,0,0),;(0,0,0,1,0),
e dim W = 3.

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