Questão 1: Considere o seguinte subconjunto de
:
(a) (15 pontos) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de
.
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é subespaço vetorial de . - Encontrar uma base de
e sua dimensão.
Para a parte (a) vamos usar o teste padrão de subespaço: mostrar quenão é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Para a parte (b) vamos parametrizar as soluções das equações lineares, extrair vetores geradores e verificar independência.
Passo 2
Mostrando que
é subespaço vetorial:
- Não vazio: o vetor zero
satisfaz
logo
.
2. Fechamento em soma: sejam e
em
. Então
2. Fechamento em soma: sejam
Na soma
temos
e
. Logo
.
3. Fechamento em escalar: se e
, então
3. Fechamento em escalar: se
e
. Logo
.
Portanto é subespaço vetorial de
.
Portanto
Passo 3
Parametrização de
: nas equações
podemos escolher
como parâmetros livres e obter
Logo um genérico
é
Reagrupando em coeficientes de
,
Passo 4
Verificação de base e dimensão:
Os três vetores
Os três vetores
geram
pela parametrização acima. Para checar independência, note que a única combinação
leva ao sistema linear
leva ao sistema linear
que tem só a solução trivial
. Logo
é LI e gera
, isto é, é uma base. Como são três vetores,
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base de é
(b) Uma base de
e
.