Demonstre que a soma e o produto de matrizes triangulares superiores e triangular superior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: demonstrar que a soma de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior e demonstrar que o produto de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior. As informações que temos (assumidas como dadas) são: duas matrizes quadradas de mesma ordem n, chamadas aqui de A e B, e a hipótese de que ambas são triangulares superiores. Vou usar a notação a_{ij} para o elemento da linha i e coluna j da matriz A, e b_{ij} para o elemento correspondente de B. Não começo a resolver ainda; só organizei o que é pedido e as informações disponíveis.

Passo 2

Definição e notação clara (essencial para entender a prova).
Uma matriz quadrada M=(m_{ij}) é dita triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo par de índices com i>j temos
m_{ij}=0.
Em palavras: linhas com índice maior que o da coluna (estamos abaixo da diagonal) têm entradas nulas. Essa é a propriedade que vamos usar elemento a elemento para provar as duas afirmações.

Passo 3

Prova de que a soma de matrizes triangulares superiores é triangular superior.
Sejam A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) triangulares superiores. Considere a matriz soma C=A+B com elementos c_{ij}. Por definição de soma de matrizes,
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\qquad\text{para todo }i,j.
Agora pegue qualquer posição abaixo da diagonal, isto é, qualquer par de índices com i>j. Como A e B são triangulares superiores, temos a_{ij}=0 e b_{ij}=0. Portanto, para i>j,
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0+0=0.
Logo todos os elementos abaixo da diagonal de C são zero, o que mostra que C é triangular superior. Conclusão: a soma de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior.

Passo 4

Ilustração curta para fixar a ideia (exemplo concreto 3×3).
Considere
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\[4pt] 0& a_{22}&a_{23}\\[4pt] 0&0&a_{33} \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\[4pt] 0& b_{22}&b_{23}\\[4pt] 0&0&b_{33} \end{pmatrix}.
A soma é
A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\[4pt] 0& a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\[4pt] 0&0&a_{33}+b_{33} \end{pmatrix},
onde claramente as entradas abaixo da diagonal continuam zero. Esse exemplo só confirma de forma visual o argumento geral do passo anterior.]

Passo 5

Prova de que o produto de matrizes triangulares superiores é triangular superior — estratégia e fórmula elemento a elemento.
Se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) são n\times n, o elemento (i,j) do produto AB é dado pela soma
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Queremos mostrar que se i>j então (AB)_{ij}=0. A ideia é verificar cada termo do somatório e ver que todos são zero quando i>j.

Passo 6

Argumento elemento a elemento para o produto (detalhado).
Fixe i e j tais que i>j. Considere um termo genérico da soma, a_{ik}\,b_{kj}, para um k qualquer entre 1 e n. Há duas possibilidades para o índice k:
  • Se k\le j, então k\le j<i, logo i>k. Como A é triangular superior, qualquer entrada com índice de linha maior que o índice de coluna é zero; portanto a_{ik}=0. Assim o produto a_{ik}\,b_{kj}=0 nesse caso.
  • Se k\ge j+1, então k>j. Como B é triangular superior, b_{kj}=0 sempre que o índice da linha k for maior que o índice da coluna j; portanto b_{kj}=0 e novamente a_{ik}\,b_{kj}=0.
Essas duas opções cobrem todos os valores possíveis de k (ou k\le j ou k\ge j+1). Em ambas, o termo a_{ik}\,b_{kj} é zero. Portanto cada termo da soma que define (AB)_{ij} é zero, e assim
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}=0.
Como isso vale para qualquer i>j, concluímos que todas as entradas abaixo da diagonal de AB são zero, ou seja, AB é triangular superior.

Passo 7

Observações finais e reforço pedagógico (como usar isso na prova).
  • A prova da soma é imediata e costuma aparecer como exercício simples: basta aplicar a definição de soma e a definição de triangular superior.
  • A prova do produto é o passo que exige atenção com índices; a chave é pensar em cada termo da soma e notar que, quando i>j, para todo k pelo menos um dos fatores a_{ik} ou b_{kj} é zero. Esse é um esquema que aparece muitas vezes em álgebra linear (verificar propriedades elemento a elemento usando as hipóteses sobre índices).
  • Dica prática para a prova: escreva a fórmula (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}, fixe um par i>j, e então divida os k em dois casos como eu fiz — isso organiza bem a argumentação e evita erros de índice.

Resposta

A+B é triangular superior.
AB é triangular superior.

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