As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B . A^{-1}=I_{2} e C . B =\mathrm{A}, determine \mathrm{Ce} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A, B e C, todas invertíveis e de ordem 2. As informações fornecidas são:
B\cdot A^{-1} = I_{2}
C\cdot B = A.
Além disso o enunciado pede para determinar C e C^{-1}. Vou interpretar aqui que e é o elemento identidade da multiplicação de matrizes de ordem 2, isto é, e = I_{2} (porque o enunciado já usou I_{2} acima). Essas são todas as informações que temos do problema.

Passo 2

Vamos usar a primeira igualdade \;B\cdot A^{-1}=I_{2}\; para obter uma relação simples entre A e B. Lembre que multiplicar uma igualdade por uma matriz é permitido, desde que a multiplicação faça sentido: aqui podemos multiplicar a igualdade à direita por A (que existe porque A é invertível). Fazendo isso obtemos:
B\cdot A^{-1}\cdot A = I_{2}\cdot A.
Explico cada termo: \;A^{-1}\cdot A = I_{2}\; por definição de inversa, e \;I_{2}\cdot A = A\; porque multiplicar pela identidade não muda a matriz. Portanto a igualdade anterior vira
B = A.

Passo 3

Agora use a segunda igualdade \;C\cdot B = A\;. Como acabamos de deduzir que \;B = A\;, substituímos B por A nessa segunda igualdade:
C\cdot A = A.
Isso é uma equação matricial entre 2\times2 que podemos manipular: como A é invertível, podemos multiplicar à direita por A^{-1} para isolar C. Multiplicando ambos os lados por A^{-1} obtemos:
C\cdot A\cdot A^{-1} = A\cdot A^{-1}.
Usando \;A\cdot A^{-1}=I_{2}\; e \;A\cdot A^{-1}=I_{2}\; no lado direito, fica
C = I_{2}.

Passo 4

Agora que encontramos \;C = I_{2}\;, vamos calcular \;C e C^{-1}\;. Lembrando que e = I_{2} por nossa interpretação, e que a inversa da identidade é ela mesma, ou seja \;I_{2}^{-1}=I_{2}\;. Substituindo tudo:
C e C^{-1} = I_{2}\cdot I_{2}\cdot I_{2} = I_{2}.
Explanação alternativa (propriedade geral): para qualquer matriz invertível M vale \;M I_{2} M^{-1} = M M^{-1} = I_{2}\;. Então conjugar a identidade por qualquer matriz dá a identidade.

Resposta

\,I_{2}

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