As matrizes
,
e
são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo
e
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
,
e
, todas invertíveis e de ordem
. As informações fornecidas são:
Além disso o enunciado pede para determinar
. Vou interpretar aqui que
é o elemento identidade da multiplicação de matrizes de ordem
, isto é,
(porque o enunciado já usou
acima). Essas são todas as informações que temos do problema.
Passo 2
Vamos usar a primeira igualdade
para obter uma relação simples entre
e
. Lembre que multiplicar uma igualdade por uma matriz é permitido, desde que a multiplicação faça sentido: aqui podemos multiplicar a igualdade à direita por
(que existe porque
é invertível). Fazendo isso obtemos:
Explico cada termo:
por definição de inversa, e
porque multiplicar pela identidade não muda a matriz. Portanto a igualdade anterior vira
Passo 3
Agora use a segunda igualdade
. Como acabamos de deduzir que
, substituímos
por
nessa segunda igualdade:
Isso é uma equação matricial entre
que podemos manipular: como
é invertível, podemos multiplicar à direita por
para isolar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Usando
e
no lado direito, fica
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos calcular
. Lembrando que
por nossa interpretação, e que a inversa da identidade é ela mesma, ou seja
. Substituindo tudo:
Explanação alternativa (propriedade geral): para qualquer matriz invertível
vale
. Então conjugar a identidade por qualquer matriz dá a identidade.