Determinar, se existir, A^{-1} em cada caso:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A de ordem 2:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]
e pede para determinar, se existir, a matriz inversa A^{-1}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 2\times2.
  • Os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1.
  • A pergunta é: existe A^{-1}? Se existir, qual é ela?]

Passo 2

Definição de inversa (aulas rápidas e amigas): para uma matriz quadrada A, dizemos que A^{-1} é a inversa de A quando as duas multiplicações dão a identidade, isto é,
A\,A^{-1}=I\quad\text{e}\quad A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Para matrizes 2\times2 há um critério prático: uma matriz
\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]
é invertível se, e somente se, o determinante \det=\;ad-bc for diferente de zero. Nesse caso a inversa é dada pela fórmula conhecida:
\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Explicando os símbolos: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; ad-bc é o determinante; a matriz à direita é formada trocando a e d e trocando de sinal b e c.]

Passo 3

Calcule o determinante de A. Para A temos a=1, b=0, c=0, d=1. Então
\det(A)=ad-bc = 1\cdot1 - 0\cdot0 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é invertível — ou seja, a inversa existe.

Passo 4

Aplique a fórmula da inversa para o caso concreto. Substituindo a=1, b=0, c=0, d=1 na fórmula da etapa anterior:
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right] =\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].]

Passo 5

Simplificando a expressão obtemos
A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].
Observação intuitiva: esta matriz é a matriz identidade I. A identidade é sempre sua própria inversa porque I\! \cdot I = I.]

Passo 6

Verificação explícita por multiplicação (para você poder usar isso na prova): calcule A\,A^{-1}. As entradas do produto são somas de produtos das linhas de A pelas colunas de A^{-1}. Por exemplo, a entrada (1,1) é 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1; a (1,2) é 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0; a (2,1) é 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0; a (2,2) é 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1. Assim
A\,A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]=I,
e análogo para A^{-1}A. Portanto a matriz encontrada está correta.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]]

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