e pede para determinar, se existir, a matriz inversa A^{-1}.\n
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz 2\times2.
Os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1.
A pergunta é: existe A^{-1}? Se existir, qual é ela?]
Passo 2
Definição de inversa (aulas rápidas e amigas): para uma matriz quadrada A, dizemos que A^{-1} é a inversa de A quando as duas multiplicações dão a identidade, isto é,
A\,A^{-1}=I\quad\text{e}\quad A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Para matrizes 2\times2 há um critério prático: uma matriz
\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]
é invertível se, e somente se, o determinante \det=\;ad-bc for diferente de zero. Nesse caso a inversa é dada pela fórmula conhecida:
\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Explicando os símbolos: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; ad-bc é o determinante; a matriz à direita é formada trocando a e d e trocando de sinal b e c.]
Passo 3
Calcule o determinante de A. Para A temos a=1, b=0, c=0, d=1. Então
\det(A)=ad-bc = 1\cdot1 - 0\cdot0 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é invertível — ou seja, a inversa existe.
Passo 4
Aplique a fórmula da inversa para o caso concreto. Substituindo a=1, b=0, c=0, d=1 na fórmula da etapa anterior:
Observação intuitiva: esta matriz é a matriz identidade I. A identidade é sempre sua própria inversa porque I\! \cdot I = I.]
Passo 6
Verificação explícita por multiplicação (para você poder usar isso na prova): calcule A\,A^{-1}. As entradas do produto são somas de produtos das linhas de A pelas colunas de A^{-1}. Por exemplo, a entrada (1,1) é 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1; a (1,2) é 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0; a (2,1) é 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0; a (2,2) é 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1. Assim