Demonstre que
para todo inteiro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a soma dos quadrados dos primeiros
números de Fibonacci é igual a
para todo inteiro
. Isso envolve entender a sequência de Fibonacci e usar conceitos de séries matemáticas. Vamos precisar saber como calcular a sequência de Fibonacci e como somar os termos ao quadrado dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a sequência de Fibonacci. Ela começa com
e
, e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:
Isso nos dá a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Passo 3
Agora, queremos somar os quadrados desses termos até o
-ésimo termo:
Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a
.
Passo 4
Vamos usar o método de indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos: a base e o passo indutivo.
Passo 5
Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação funciona para
.
E,
Então, para
, a igualdade vale:
. Base confirmada!
Passo 6
Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que:
Passo 7
Vamos somar
em ambos os lados da hipótese de indução:
Pela hipótese de indução:
Passo 8
Sabemos que
(pela definição da sequência de Fibonacci). Então:
Portanto:
O que era para mostrar!
Resposta
Demonstrado que
para todo inteiro
.