Demonstre que sumi=1^n F(i)^2=F(n+1) cdot F(n) para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a soma dos quadrados dos primeiros números de Fibonacci é igual a para todo inteiro . Isso envolve entender a sequência de Fibonacci e usar conceitos de séries matemáticas. Vamos precisar saber como calcular a sequência de Fibonacci e como somar os termos ao quadrado dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a sequência de Fibonacci. Ela começa com F(n) = F(n-1) + F(n-2) e , e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:
Isso nos dá a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Passo 3

Agora, queremos somar os quadrados desses termos até o sumi=1^n F(i)^2 -ésimo termo:
Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a .

Passo 4

Vamos usar o método de indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos: a base e o passo indutivo.

Passo 5

Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação funciona para sumi=1^1 F(i)^2 = F(1)^2 = 1^2 = 1 .
F(2) times F(1) = 1 times 1 = 1
E,
Então, para , a igualdade vale: . Base confirmada!

Passo 6

Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum sumi=1^k F(i)^2 = F(k+1) times F(k) , ou seja:
sumi=1^k+1 F(i)^2 = F(k+2) times F(k+1)
Queremos mostrar que isso implica que:

Passo 7

Vamos somar sumi=1^k+1 F(i)^2 = ( sumi=1^k F(i)^2 ) + F(k+1)^2 em ambos os lados da hipótese de indução:
= F(k+1) times F(k) + F(k+1)^2
Pela hipótese de indução:
= F(k+1) times (F(k) + F(k+1))

Passo 8

Sabemos que F(k+1) times F(k+2) (pela definição da sequência de Fibonacci). Então:
sumi=1^k+1 F(i)^2 = F(k+2) times F(k+1)
Portanto:
O que era para mostrar!

Resposta

Demonstrado que para todo inteiro .

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