Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe um número real b tal que b^2=2, conclua que existe raiz quadrada de 2 .

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe um número real b tal que b²=2 e, assim, concluir que a raiz quadrada de 2 existe. Vamos usar conceitos de funções contínuas e mudança de sinal num intervalo.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x²−2. Sabemos que x↦x² é contínua em ℝ e que subtrair uma constante não muda isso. Logo, f é contínua em todo ℝ, o que é fundamental para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calculamos os valores de f nos extremos do intervalo [1,2]:
f(1)=1²−2=−1,
f(2)=2²−2=2.
Como f(1)<0 e f(2)>0, há uma mudança de sinal em [1,2].

Passo 4

O Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua em [1,2] e f(1)·f(2)<0, então existe b∈(1,2) tal que f(b)=0. Aqui temos exatamente esse caso: f(1)·f(2)=−1·2<0.

Passo 5

Da igualdade f(b)=0 segue b²−2=0, ou seja, b²=2. Portanto, encontramos um real b cujo quadrado é 2, provando que existe raiz quadrada de 2 em ℝ.

Resposta

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função f(x)=x²−2 no intervalo [1,2], obtemos b∈(1,2) com b²=2. Logo, existe a raiz quadrada de 2 nos reais.

Exercícios relacionados