Mostre que a equação x^2=raizx+2 tem pelo menos uma solução no intervalo (0,2)

Passo 1

Temos a equação x^2 = raizx+2. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário e vamos precisar definir uma função que nos permita aplicar esse teorema, além de verificar continuidade e mudança de sinal.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^2-raizx+2
Observamos que x^2 e raizx+2 são funções contínuas em [0,2], logo f é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Calculamos os valores de f nos extremos:
Para x=0: f(0)=0^2-raiz0+2=-raiz2<0.
Para x=2: f(2)=2^2-raiz2+2=4-2=2>0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,2] e f(0)cdot f(2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,2) tal que f(c)=0. Assim, c é solução de x^2=raizx+2 em (0,2).

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma solução de x^2=raizx+2 no intervalo (0,2).

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