Encontre a resposta ao estado nulo
dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
Passo 1
O enunciado dá as duas funções tempo-contínuo (peguei exatamente do enunciado):
-
. -
.
O que é pedido:
- Encontrar a resposta ao estado nulo
do sistema LTIC dado esses e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ambas as funções são multiplicadas por
, a função degrau unitário, portanto são causais (valem zero para ). - A resposta ao estado nulo corresponde à saída do sistema quando não há condições iniciais, ou seja, depende apenas da entrada
e da resposta ao impulso .
Passo 2
Decidindo o método: há duas maneiras naturais e equivalentes para obter
:
- Usar a integral de convolução no domínio do tempo.
- Usar transformada de Laplace:
e inverter.
Vou usar a convolução no tempo porque é direto, é a forma mais elementar do que o enunciado pede e permite praticar o cálculo da integral passo a passo sem precisar de tabelas de Laplace. Se preferir, mais abaixo dou uma rápida checagem mental com Laplace.
Passo 3
Recordando (e explicando) a fórmula que precisamos aplicar: a resposta ao estado nulo de um sistema linear e invariante no tempo é a convolução da resposta ao impulso com a entrada. A definição da convolução é
Aqui
é a variável de integração (um “tempo intermediário”) e
é o tempo onde queremos avaliar a saída. Vou agora usar as expressões dadas para
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, obtemos
Agora determinamos os limites de integração usando as funções degrau:
-
exige . -
exige , isto é .
Como as duas devem ser verdadeiras simultaneamente, a integração não-trivial ocorre quando
. Para
esse intervalo é vazio e
. Logo a integral reduz-se, para
, a
Passo 5
Simplificando o integrando:
Portanto, para
,
Agora calculamos a primitiva de
:
. Avaliando nos limites de
a
obtém-se
Substituindo de volta,
Para
temos
(porque ambos os sinais são causais). Assim podemos escrever a solução com o degrau unitário:
Passo 6
Checagens rápidas e intuição:
- No instante
temos , que faz sentido porque a convolução de duas exponenciais causais pode começar em zero. - Comportamento para
: porque ambas as exponenciais se anulam, consistente com um sistema estável. - Alternativa (rápida): em Laplace,
, , então . Frações parciais dão , cuja transformada inversa é exatamente multiplicada por . Portanto a resposta está consistente.