Demonstre o Teorema da Conservação do sinal: Suponha que
. Se
, então existe
tal que
. Analogamente, se
, então existe
tal que
. [Sugestão: Use a definição de limite com
no caso em que
no caso em que
.]
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se
e
, então nos pontos próximos a
a função
permanece positiva, e caso
ocorre algo análogo. O conteúdo envolve a definição
–
de limite.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Escolha
. Pela definição de limite, existe
tal que
Passo 3
Da desigualdade
segue que
Passo 4
Portanto, basta tomar
para garantir que, se
, então
.
Passo 5
Agora suponha que
. Defina
. Novamente existe
tal que
Passo 6
Segue que
Passo 7
De novo, tomando
, obtemos que
implica
.
Resposta
Concluímos que, se
, existe
tal que
implica
; se
, existe
tal que
implica
.