Demonstre o Teorema da Conservação do sinal: Suponha que lim x x0 f(x)=L. Se L>0, então existe r>0 tal que 0<|x-x0|0. Analogamente, se L<0, então existe r>0 tal que 0<|x-x0|. [Sugestão: Use a definição de limite com epsilon=L / 2 no caso em que L>0 e epsilon=-L / 2 no caso em que L<0.]

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, se limxto x0f(x)=L e L>0, então nos pontos próximos a x0 a função f(x) permanece positiva, e caso L<0 ocorre algo análogo. O conteúdo envolve a definição epsilon de de limite.

Passo 2

Suponha primeiro que L>0. Escolha epsilon=L2>0. Pela definição de limite, existe de0 tal que
0<|x-x0|

Passo 3

Da desigualdade |f(x)-L| segue que
-tfracL2L-tfracL2=tfracL2>0

Passo 4

Portanto, basta tomar r=de para garantir que, se 0<|x-x0|, então f(x)>0.

Passo 5

Agora suponha que L<0. Defina epsilon=-tfracL2>0. Novamente existe de0 tal que
0<|x-x0|

Passo 6

Segue que
-l(-tfracL2r)

Passo 7

De novo, tomando r=de, obtemos que 0<|x-x0| implica f(x)<0.

Resposta

Concluímos que, se L>0, existe r>0 tal que 0<|x-x0| implica f(x)>0; se L<0, existe r>0 tal que 0<|x-x0| implica f(x)<0.

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