Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
sabendo que
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
da função
u = \ln(x),\tan(y),e^{t\sqrt{xy}}
sujeita às mudanças de variáveis
x = \alpha^2\beta,
y = \beta^2\gamma,
t = \gamma^2\alpha.
O conteúdo principal é a regra da cadeia em várias variáveis, e vamos precisar de
u = \ln(x),\tan(y),e^{t\sqrt{xy}}
sujeita às mudanças de variáveis
x = \alpha^2\beta,
y = \beta^2\gamma,
t = \gamma^2\alpha.
O conteúdo principal é a regra da cadeia em várias variáveis, e vamos precisar de
-
, 2) as derivadas de em relação a , e 3) combinar tudo.
Passo 2
Para achar
e
, trate
com
f(x)=\ln(x),
g(y)=\tan(y),
h= e^{t\sqrt{xy}}.
Então
f(x)=\ln(x),
g(y)=\tan(y),
h= e^{t\sqrt{xy}}.
Então
Passo 3
Agora calcule as derivadas de
x=\alpha^2\beta,\quad y=\beta^2\gamma,\quad t=\gamma^2\alpha
em relação a :
x=\alpha^2\beta,\quad y=\beta^2\gamma,\quad t=\gamma^2\alpha
em relação a
Passo 4
Use agora a regra da cadeia:
Substituindo
e as derivadas de
, obtemos as expressões finais das três derivadas parciais.
Resposta
As derivadas parciais finais são: