Se
é contínua em 1 e
, mostre que existe
tal que para todo
,
Passo 1
A questão é sobre continuidade de uma função em um ponto. Sabemos que f é contínua em x=1 e que f(1)=4. Queremos mostrar que existe r>0 tal que sempre que x estiver num intervalo (1-r,1+r) temos 7/2 < f(x) < 9/2.
Passo 2
Para usar a definição de continuidade, escolhemos ε = 1/2. Como f é contínua em 1, existe δ>0 tal que sempre que |x-1| < δ temos |f(x)-f(1)| < ε, ou seja, |f(x)-4| < 1/2.
Passo 3
A desigualdade |f(x)-4| < 1/2 se desdobra em duas: f(x) - 4 < 1/2 e -(f(x)-4) < 1/2. Simplificando, obtemos 4 - 1/2 < f(x) < 4 + 1/2, isto é, 7/2 < f(x) < 9/2.
Passo 4
Bastou então tomar r = δ. Assim, sempre que 1 - r < x < 1 + r (e x no domínio de f) garantimos que 7/2 < f(x) < 9/2.
Resposta
Escolhendo r = δ, onde δ > 0 vem da definição de continuidade com ε = 1/2, temos que sempre que 1 - r < x < 1 + r vale 7/2 < f(x) < 9/2.