3.4 Demonstre o Teorema 3.5. Considere a equação linear .
Se .

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema 3.5: na equação linear
a x = b
com aneq0, o valor
x = ba
é a única solução. Vamos usar as propriedades de inverso multiplicativo em um corpo (ou anel com cancelamento): existe a^-1 tal que a,a^-1=1 e vale a lei de cancelamento.

Passo 2

(Prova da existência)
Defina
x0 = ba = a^-1b
Então, ao substituir em a x = b, temos
a,x0 = a,(a^-1b) = (a,a^-1),b = 1cdot b = b
Logo, x0 é de fato uma solução de a x=b.

Passo 3

(Prova da unicidade)
Suponha que exista outra solução y tal que
a,y = b
Como também a,x0 = b, segue
a,y = a,x0
Subtraindo a,x0 dos dois lados e usando distributividade,
a,(y - x0) = 0
Como aneq0 e admite cancelamento, obrigatoriamente
y - x0 = 0 Longrightarrow y = x0
Assim, não há outra solução distinta de x0.

Passo 4

Concluímos que a equação a x=b com aneq0 possui exatamente uma solução, que é
x = ba

Resposta

x = ba

Exercícios relacionados