3.4 Demonstre o Teorema 3.5. Considere a equação linear
.
Se .
Se .
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema 3.5: na equação linear
com
, o valor
é a única solução. Vamos usar as propriedades de inverso multiplicativo em um corpo (ou anel com cancelamento): existe
tal que
e vale a lei de cancelamento.
Passo 2
(Prova da existência)
Defina
Defina
Então, ao substituir em
, temos
Logo,
é de fato uma solução de
.
Passo 3
(Prova da unicidade)
Suponha que exista outra solução tal que
Suponha que exista outra solução
Como também
, segue
Subtraindo
dos dois lados e usando distributividade,
Como
e admite cancelamento, obrigatoriamente
Assim, não há outra solução distinta de
.
Passo 4
Concluímos que a equação
com
possui exatamente uma solução, que é