Resolva as equações diferenciais e represente as curvas integrais para pelo menos três valores da constante:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e depois representar as curvas integrais para pelo menos três valores da constante de integração. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de separação de variáveis: vamos escrever a equação na forma
, separar
e
e integrar cada lado.
Passo 2
Escrevemos a equação como derivada explícita:
Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro:
Passo 3
Integramos cada membro:
No lado esquerdo,
.
No lado direito, fazemos a substituição ,
, então
No lado direito, fazemos a substituição
Portanto, após integração,
Passo 4
Isolamos
. Multiplicando por
e invertendo,
onde
é a constante geral de integração.
Passo 5
As curvas integrais correspondem às funções
para diferentes escolhas de
. Por exemplo:
Para
:
Para
:
Para
:
Cada uma dessas curvas é uma família de soluções que varia conforme o valor de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
e exemplos de curvas integrais são