Resolva as equações diferenciais e represente as curvas integrais para pelo menos três valores da constante:
c) y^-1 d y+y e^cos x sin x d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^-1,dy + y,e^cos xsin x,dx = 0
e depois representar as curvas integrais para pelo menos três valores da constante de integração. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de separação de variáveis: vamos escrever a equação na forma dydx=f(x),g(y), separar y e x e integrar cada lado.

Passo 2

Escrevemos a equação como derivada explícita:
dydx = -,y^2,e^cos xsin x
Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro:
1y^2,dy = -,e^cos xsin x,dx

Passo 3

Integramos cada membro:
integral 1y^2,dy = integral -,e^cos xsin x,dx
No lado esquerdo, integral y^-2dy = -,1y.
No lado direito, fazemos a substituição u=cos x, du=-sin x,dx, então
integral -,e^cos xsin x,dx = integral e^u,du = e^u + C = e^cos x + C
Portanto, após integração,
-,1y = e^cos x + C

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo,
1y = -,e^cos x + C1, y = 1C1 - e^cos x,
onde C1 é a constante geral de integração.

Passo 5

As curvas integrais correspondem às funções
y(x) = 1C - e^cos x
para diferentes escolhas de C. Por exemplo:
Para C=0:
y(x)=1-,e^cos x = -,e^-cos x
Para C=1:
y(x)=11 - e^cos x
Para C=2:
y(x)=12 - e^cos x
Cada uma dessas curvas é uma família de soluções que varia conforme o valor de C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 1C - e^cos x,
e exemplos de curvas integrais são
y(x) = -,e^-cos x(C=0), y(x)=11 - e^cos x(C=1), y(x)=12 - e^cos x(C=2)

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