3.4 Demonstre o Teorema 3.5. Considere a equação linear .
Se , mas não possui solução.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, na equação linear
a,x = b,
se tivermos a=0 e bneq0, então não existe x que satisfaça essa equação. Vamos usar propriedades básicas da multiplicação por zero nos reais.

Passo 2

Mostramos primeiro que, para todo xinR, vale
0cdot x = 0
De fato, usando a distributividade,
(0+0)cdot x = 0cdot x + 0cdot x,
mas 0+0=0, então
0cdot x = 0cdot x + 0cdot x
Subtraindo 0cdot x de ambos os lados, obtemos
0 = 0cdot x

Passo 3

Suponha, por absurd o, que exista x0 tal que
0cdot x0 = b
Pelo resultado do passo anterior, o lado esquerdo é zero, então
0 = b
Isso contradiz a hipótese bneq0.

Resposta

Não existe solução para 0cdot x = b quando bneq0.

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