3.4 Demonstre o Teorema 3.5. Considere a equação linear a x=b.
Se a=0 e b=0, então cada escalar k é uma soluçăo de $a x=b.

Passo 1

O Teorema 3.5 trata da resolução da equação linear
a x = b
em um corpo (por exemplo, R ou C). Há três casos a considerar:
  1. a neq 0 (solução única x = b/a);
  2. a = 0 e b neq 0 (sem solução);
  3. a = 0 e b = 0 (infinitas soluções).
    Aqui vamos demonstrar o caso 3: se a=0 e b=0, então toda escolha de x (isto é, todo escalar k) satisfaz a x = b.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental de zero no corpo: para qualquer escalar k,
0cdot k = 0
Essa igualdade decorre de que 0 é o elemento neutro aditivo e, por definição de multiplicação por zero, sempre dá zero.

Passo 3

Se a=0 e b=0, ao substituir qualquer escalar k na equação a x = b obtemos
a,k = 0cdot k = 0 = b
Logo, qualquer valor escolhido para x satisfaz a equação.

Resposta

Qualquer escalar k é solução de a x = b quando a=0 e b=0.

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