3.4 Demonstre o Teorema 3.5. Considere a equação linear
.
Se
e
, então cada escalar
é uma soluçăo de $a x=b.
Se
Passo 1
O Teorema 3.5 trata da resolução da equação linear
em um corpo (por exemplo,
ou
). Há três casos a considerar:
-
(solução única ); -
e (sem solução); -
e (infinitas soluções).
Aqui vamos demonstrar o caso 3: see , então toda escolha de (isto é, todo escalar ) satisfaz .
Passo 2
Usamos a propriedade fundamental de zero no corpo: para qualquer escalar
,
Essa igualdade decorre de que
é o elemento neutro aditivo e, por definição de multiplicação por zero, sempre dá zero.
Passo 3
Se
e
, ao substituir qualquer escalar
na equação
obtemos
Logo, qualquer valor escolhido para
satisfaz a equação.
Resposta
Qualquer escalar
é solução de
quando
e
.